Beautiful numbers CodeForces

题意：

找出区间[li,ri]内有多少数满足，这个数的每一个位的非0数都能把这个数整除

题解：

因为这个数每一位的值都可以把这个数整除，那也就是说这个数是它所有位数的公倍数，但是可能不是最小公倍数。

1、2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520

那么我就可以让我们要判断的那个数去取余2520来实现我们记忆化操作

因为1——9的最小公倍数是2520，所以1——9中任意几个数的最小公倍数肯定是2520的余数，所以我们只需要找出来1——2520之中所有2520的余数就可以了。最后找出来也就48个

给这48个位置每一个映射一个值

这个样子就又可以减小dp数组的大小

dp[x][y][z]表示：枚举到第x位，这个数取余2520的结果是y，这个数目前所有位数的最小公倍数所对应的映射是z

代码：

//首先要求能被各位上的数整除，可以转化为被一个数整除问题。
//这个数就是各位上数的最小公倍数LCM（不是GCD）。
//其次，处理整除问题，得转化成数位DP的余数模板。1~9的LCM最大是2520, 那么%2520,让其可以开数组进行记忆化搜索。
//最后, 对于不能%2520最后结果，再%各个数位累计过来的LCM。
//这样下来，需要开20*2520*2520的数组，往CF上一交你会发现MLE。
//仔细观察每次的LCM，其范围是1~2520没错，但是都是整除gcd的结果（LCM=a*b/gcd(a,b) ），也就是说所有LCM都是某个数的约数。
//这个数其实就是2520。所以DP之前，为2520打个表，把LCM给离散化Hash。这样其实只有48个LCM了。数组开20*2520*50即可。
//注意结果是int64。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;
const int maxn=20;
const int mod=2520;
typedef long long ll;
ll v[maxn],dp[maxn][mod+50][50];
map<ll,ll>w;
ll lcm(ll a,ll b)
{
    ll ans=min(a,b);
    while(ans)
    {
        if(a%ans==0 && b%ans==0) break;
        ans--;
    }
    return (a*b)/ans;
}
ll dfs(ll pos,ll sum,ll sta,bool limit)
{
    if(sta==0)return 0;
    if(pos==-1)
    {
        return sum%sta==0;
    }
    if(!limit && dp[pos][sum][w[sta]]!=-1) return dp[pos][sum][w[sta]];
    ll up=limit?v[pos]:9;
    ll tmp=0;
    for(ll i=0;i<=up;++i)
    {
        if(i>0)
        {
            tmp+=dfs(pos-1,(sum*10+i)%mod,lcm(sta,i),limit && i==v[pos]);

        }
        else tmp+=dfs(pos-1,(sum*10+i)%mod,sta,limit && i==v[pos]);
    }
    if(!limit) dp[pos][sum][w[sta]]=tmp;
    //只有上界为9的时候才会往dp数组里面存，因为这样能节省更多的时间
    return tmp;
}
ll solve(ll ans)
{
    ll pos=0;
    while(ans)
    {
        v[pos++]=ans%10;
        ans/=10;
    }
    return dfs(pos-1,0,1,true);
}
int main()
{
    ll t,l,r,m=0;
    scanf("%I64d",&t);
    for(ll i=1;i<=mod;++i)
    {
        if(mod%i==0)
        {
            ++m;
            w[i]=m;
        }
    }
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
        printf("%I64d
",solve(r)-solve(l-1));
    }
    w.clear();
    return 0;
}