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  • P1268 树的重量(板子)

    题目:

    题目描述

    树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树,其叶节点表示一个物种,两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在,一个重要的问题是,根据物种之间的距离,重构相应的“进化树”。

    令N={1..n},用一个N上的矩阵M来定义树T。其中,矩阵M满足:对于任意的i,j,k,有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足:

    1.叶节点属于集合N;

    2.边权均为非负整数;

    3.dT(i,j)=M[i,j],其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

    如下图,矩阵M描述了一棵树。

    树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M,它所能表示树的重量是惟一确定的,不可能找到两棵不同重量的树,它们都符合矩阵M。你的任务就是,根据给出的矩阵M,计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树,这棵树的总重量为15。

    输入格式

    输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-1行,给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线),矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

    输入数据以n=0结尾。

    输出格式

    对于每组输入,输出一行,一个整数,表示树的重量。

    输入输出样例

    输入 #1
    5
    5 9 12 8
    8 11 7
    5 1
    4
    4
    15 36 60
    31 55
    36
    0
    
    输出 #1
    15
    71

    题意:

    就是给你一个n*n矩阵的右上部分,让你求出来树的重量

    树的重量:树上所有边权之和。

    给你一个n*n的矩阵,那么这个矩阵某个位置(i,j)的值dis(i,j)表示的就是i点和j点之间的距离

    题解:

    当n等于2的时候,那么树的重量就是dis(1,2)

    当n大于2的时候:

    从样例图(如下)中我们可以看到某些边是可以共用的

    我们把上图的蓝色部分设为变量len

    len= (dis(1,3)+dis(2,3)-dis(1,2))/2

    公式泛化:

    len=(dis(1,i)+dis(j,i)dis(1,j))/2

    我们只需要每次求出来最小的len就可以

    for(int i=3;i<=n;++i)
            {
                int ans=INF;
                for(int j=2;j<i;++j)
                {
                    ans=min(ans,(dis[1][i]+dis[j][i]-dis[1][j])/2);
                }
                sum+=ans;
            }

    代码中的j为什么小于i?

    看样例图,如果3,4,5点中的一个已经在代码中遍历过(比如5号点),那么其他点(3或4,这里用3做示范)就可以通过 (dis(1,3)+dis(5,3)-dis(1,5))/2=(9+1-8)/2=1

    代码:

    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    #define ll long long
    #define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
    const int maxn=30+10;
    const int INF=0x3f3f3f3f;
    int n,dis[maxn][maxn];
    int main()
    {
        while(~scanf("%d",&n))
        {
            if(!n) break;
            //mem(dis);  //不需要
            for(int i=1;i<n;++i)
            {
                for(int j=i+1;j<=n;++j)
                {
                    scanf("%d",&dis[i][j]);
                }
            }
            int sum=dis[1][2];
            for(int i=3;i<=n;++i)
            {
                int ans=INF;
                for(int j=2;j<i;++j)
                {
                    ans=min(ans,(dis[1][i]+dis[j][i]-dis[1][j])/2);
                }
                sum+=ans;
            }
            printf("%d
    ",sum);
        }
        return 0;
    }
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