显示图:
明确给出了图中的各顶点及边
隐式图:
仅给出初始节点、目标节点及产生子节点的条件(一般有问题提议隐含给出)的情况下,构造一个图。
回溯法:
从初始状态出发,在隐式图中以深度优先的方式搜索问题的解。当发现不满足求解条件时,就回溯,尝试其他路径。通俗的说,回溯法就是一种能进则进,进不了就换,换不了就退的基本搜索方法。
回溯法的算法框架和思想:
子集树:
子集树是使用回溯法解题时经常遇到的一种典型的解空间树。
子集树中所有非叶子节点均有左右两个分支,我们一般设定左分支为1,右分支为0。树的根结点表示初始状态,中间节点表示某种情况下的中间状态,叶子节点表示结束状态。分支表示从一个状态过度到另一个状态的行为。从根节点到叶结点的路径表示一个可能解。
示例:
从n个元素中选取一些元素
- 这类子集树通常有2n个叶结点,其结点总个数为2n+1-1。
- 遍历子集树的任何算法均需O(2n)的计算时间。
子集树形式:(下面以n==3为例)
对于根节点0号元素,它有两个分支,左边是1,右边是0。左边就代表我们会选择第0号元素,右边就代表我们不选取第0号元素。之后的类似。
对于叶节点P1表示:3个元素都选
对于叶节点P2表示:选取元素编号为:0,1
对于叶节点P3表示:选取元素编号为:0,2
......
排列树:
排列树是用回溯法解题时经常遇到的第二种典型的解空间树。
当所给的问题是从n个元素的排列中找到满足某种性质的一个排列时,相应的解空间树就是排列树。
- 排列树通常有n!个叶结点。
- 因此遍历排列树需要O(n!)的计算时间
示例:
给你3个元素(1,2,3),它的排列树如下:
从根节点A,到它的子节点B、C、D这个路径是来选择第一个元素,走到B节点代表第一个元素选取的是1,走到C节点代表第一个元素选取的是2,后面的类似
满m叉树:
满m叉树是用回溯法解题时经常遇到的第三种典型的解空间树,也称为组合树。
当所给问题的n个元素中每一个元素均有m种选择,要求确定其中的一种选择,使得对这n个向量的选择结果组成的向量满足某种性质。
n==3的m叉树
除了叶节点之外,每一个节点都有3个子节点,这就代表的3种选择