本文转自：http://www.hankcs.com/nlp/word-vector-representations-word2vec.html
如何表示一个词语的意思
先来看看如何定义“意思”的意思，英文中meaning代表人或文字想要表达的idea。这是个递归的定义，估计查询idea词典会用meaning去解释它。
中文中“意思”的意思更加有意思：
他说：“她这个人真有意思（funny）。”她说：“他这个人怪有意思的（funny）。”于是人们以为他们有了意思（wish），并让他向她意思意思（express）。他火了：“我根本没有那个意思（thought）！”她也生气了：“你们这么说是什么意思（intention）？”事后有人说：“真有意思（funny）。”也有人说：“真没意思（nonsense）”。（原文见《生活报》1994.11.13.第六版）［吴尉天，1999］
——《统计自然语言处理》
语言学中“meaning”近似于“指代、所指、符号”。
计算机如何处理词语的意思
过去几个世纪里一直用的是分类词典。计算语言学中常见的方式是WordNet那样的词库。比如NLTK中可以通过WordNet查询熊猫的hypernyms (is-a，上位词)，得到“食肉动物”“动物”之类的上位词。也可以查询“good”的同义词——“just品格好”“ripe熟了”。
discrete representation的问题
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这种discrete representation虽然是种语言学资源，但丢失了韵味。比如这些同义词的意思实际上还是有微妙的差别：adept, expert, good, practiced, proficient, skillful
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缺少新词
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主观化
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需要耗费大量人力去整理
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无法计算准确的词语相似度
无论是规则学派，还是统计学派，绝大多数NLP学家都将词语作为最小单位。事实上，词语只是词表长度的one-hot向量，这是一种localist representation（大概是借用localist“局部”的意项）。
在不同的语料中，词表大小不同。Google的1TB语料词汇量是1300万，这个向量的确太长了。
从symbolic representations到distributed representations
词语在符号表示上体现不出意义的相似性，比如Dell notebook battery size和Dell laptop battery capacity。而one-hot向量是正交的，无法通过任何运算得到相似度。
需要找到一种用向量直接编码含义的方法。
Distributional similarity based representations
语言学家J. R. Firth提出，通过一个单词的上下文可以得到它的意思。J. R. Firth甚至建议，如果你能把单词放到正确的上下文中去，才说明你掌握了它的意义。
这是现代统计自然语言处理最成功的思想之一：
通过向量定义词语的含义
通过调整一个单词及其上下文单词的向量，使得根据两个向量可以推测两个词语的相似度；或根据向量可以预测词语的上下文。这种手法也是递归的，根据向量来调整向量，与词典中意项的定义相似。
另外，distributed representations与symbolic representations（localist representation、one-hot representation）相对；discrete representation则与后者及denotation的意思相似。切不可搞混distributed和discrete这两个单词。
学习神经网络word embeddings的基本思路
定义一个以预测某个单词的上下文的模型：p(context|wt)=…
损失函数定义如下：J=1−p(w−t|wt)
这里的w−tw−t表示wtwt的上下文（负号通常表示除了某某之外），如果完美预测，损失函数为零。
然后在一个大型语料库中的不同位置得到训练实例，调整词向量，最小化损失函数。
直接学习低维词向量
这其实并不是多么新潮的主意，很早就有一些研究了：
• Learning representations by back-propagating errors (Rumelhart et al., 1986)
• A neural probabilistic language model (Bengio et al., 2003)
• NLP (almost) from Scratch (Collobert & Weston, 2008)
• A recent, even simpler and faster model: word2vec (Mikolov et al. 2013)
只不过以前一直没有引起重视，直到Bengio展示了它的用处之大。后来研究才开始火热起来，并逐渐出现了更快更工业化的模型。
word2vec的主要思路
通过单词和上下文彼此预测，老生常谈了。
两个算法：
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Skip-grams (SG)：预测上下文
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Continuous Bag of Words (CBOW)：预测目标单词
两种稍微高效一些的训练方法：
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Hierarchical softmax
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Negative sampling
但在这门课里，只会讲Naïve softmax。好在我早就把两种算法和两种训练方法的四种组合过了一遍：http://www.hankcs.com/nlp/word2vec.html
Skip-gram预测
注意这里虽然有四条线，但模型中只有一个条件分布（因为这只是个词袋模型而已，与位置无关）。学习就是要最大化这些概率。
word2vec细节
目标函数定义为所有位置的预测结果的乘积：
要最大化目标函数，最小化损失函数，需要对目标函数取个负对数，得到损失函数——对数似然的相反数：
目标函数和损失函数通常是相反的过程：
目标函数细节
这些术语都是一样的：Loss function = cost function = objective function，不用担心用错了。对于softmax来讲，常用的损失函数为交叉熵。
Word2Vec细节
预测到的某个上下文条件概率p(wt+j|wt)可由softmax得到：
o是输出的上下文词语中的确切某一个，c是中间的词语。u是对应的上下文词向量，v是词向量。
点积
复习一下课程开头所说的baby math：
公式这种画风这种配色真的有点幼儿园的感觉。
点积也有点像衡量两个向量相似度的方法，两个向量越相似，其点积越大。
Softmax function：从实数空间到概率分布的标准映射方法
指数函数可以把实数映射成正数，然后归一化得到概率。
softmax之所叫softmax，是因为指数函数会导致较大的数变得更大，小数变得微不足道；这种选择作用类似于max函数。
Skipgram
别看这张图有点乱，但其实条理很清晰，基本一图流地说明了问题。从左到右的过程依次是one-hot向量乘以W于是找到词向量，再乘以W的转置得到对每个词语的“相似度”，对相似度取softmax得到概率，与答案对比计算损失。真清晰。官方笔记里有非手写版，一样的意思：
训练模型：计算参数向量的梯度
把所有参数写进向量θθ，对d维的词向量和大小V的词表来讲，有：
模型的学习当然是梯度法了，Manning还耐心地推导了十几分钟：
更清晰的公式参考：http://www.hankcs.com/nlp/word2vec.html#h3-5
损失/目标函数
梯度有了，参数减去梯度就能朝着最小值走了。
梯度下降、SGD
只有一句比较新鲜，神经网络喜欢嘈杂的算法，这可能是SGD成功的另一原因。