一道圆锥曲线题的隐式求导写法

Problem

已知抛物线 (C:~y^2=2x) 的焦点为 (F)，准线为 (l)，点 (P) 为抛物线 (C) 上一动点（异于顶点），过 (P) 做准线 (l) 的垂线，垂足为 (H)，且 ( riangle PFH) 重心为 (M)，求证 (MP) 与抛物线 (C)相切。

Solution

设 (P(x_0,y_0))，则有 (H(-frac{1}{2},y_0),~F(frac{1}{2},0))。
设 (Q) 为 (PF) 中点，则 (Q(frac{x_0+frac{1}{2}}{2},{frac{y_0}{2}}))。
(k_{PF}=frac{y_0}{x_0-frac{1}{2}})

为方便描述，下述带有 (ot) 下标的边表示该边的垂直平分线。

(k_{PF_ot}=frac{-x_0+frac{1}{2}}{y_0})
(l_{PF_ot}:~y=frac{-x_0+frac{1}{2}}{y_0}(x-frac{x_0+frac{1}{2}}{2})+frac{y_0}{2}=frac{-x_0+frac{1}{2}}{y_0}(x-frac{x_0}{2}-frac{1}{4})+frac{y_0}{2})
(l_{PH_ot}:~x=frac{x_0-frac{1}{2}}{2}=frac{x_0}{2}-frac{1}{4})
(M=l_{PF_ot}cap l_{PHot} ightarrow y=frac{-x_0+frac{1}{2}}{y_0}(frac{x_0}{2}-frac{1}{4}-frac{x_0}{2}-frac{1}{4})+frac{y_0}{2}=frac{x_0-frac{1}{2}}{2y_0}+frac{y_0}{2}=frac{y_0^2+x_0-frac{1}{2}}{2y_0}=frac{3x_0-frac{1}{2}}{2y_0})
(k_{PM}=frac{y_0-frac{3x_0-frac{1}{2}}{2y_0}}{x_0-frac{2x_0-1}{4}}=frac{frac{2y_0^2-3x_0}{2y_0}+frac{1}{2}}{frac{4x_0-2x_0+1}{4}}=frac{frac{x_0+frac{1}{2}}{2y_0}}{frac{2x_0+1}{4}}=frac{frac{2x_0+1}{y_0}}{2x_0+1}=frac{1}{y_0})

隐式求导，得 (2yfrac{ ext{d}y}{ ext{d}x}=2)，即 (frac{ ext{d}y}{ ext{d}x}=frac{1}{y})