zoukankan      html  css  js  c++  java
  • SG函数

    转载自https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6921829.html
     
    必胜点和必败点的概念
           P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败。
           N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜。
    必胜点和必败点的性质

    1、所有终结点是 必败点 P 。(我们以此为基本前提进行推理,换句话说,我们以此为假设)

    2、从任何必胜点N 操作,至少有一种方式可以进入必败点 P。
    3、无论如何操作,必败点P 都只能进入 必胜点 N。
     

    Sprague-Grundy定理(SG定理):

            游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之,从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用,因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。对博弈不是很清楚的请参照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html进行进一步理解。

    SG函数:

            首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

            对于任意状态 x , 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c),那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集,所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

     

    【实例】Nim取石子问题

    有1堆n个的石子,每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?

    SG[0]=0,f[]={1,3,4},

    x=1 时,可以取走1 - f{1}个石子,剩余{0}个,所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

    x=2 时,可以取走2 - f{1}个石子,剩余{1}个,所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

    x=3 时,可以取走3 - f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

    x=4 时,可以取走4-  f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

    x=5 时,可以取走5 - f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

    以此类推.....

       x        0  1  2  3  4  5  6  7  8....

    SG[x]    0  1  0  1  2  3  2  0  1....

    由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤,那么计算1~n的SG函数值步骤如下:

    1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

    2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

    3、最后模拟mex运算,也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值,将其赋值给SG(x)。

    4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤,就完成了 计算1~n 的函数值。

     
     
     
  • 相关阅读:
    java.lang.IllegalArgumentException: When allowCredentials is true, allowedOrigins cannot contain the special value "*" since that cannot be set on the "Access-Control-Allow-Origin" response header.
    spring-session-data-redis依赖冲突问题
    centos7启动iptables时报Job for iptables.service failed because the control process exited with error cod
    图片上传后台服务报内存溢出 Out Of Memory Java heap space
    mysql 数据库密码忘记重置 进行远程连接
    打Jar包
    Type interface com.innovationV2.mapper.UserMapper is not known to the MapperRegistry
    关于java基础类型Integer String的clone()
    clion使用clang编译
    token & refresh token 机制总结
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/kuaileyongheng/p/8727296.html
Copyright © 2011-2022 走看看