题目链接
https://www.luogu.com.cn/problem/P3574
题目大意
给定一棵树，每个结点有一个村庄，小明从 (1) 号结点出发，每条边仅往返各一次，他每次到达一个村庄，就放下一台电脑，并立即向其他村庄行进。小明走每条边需要花费一个单位时间。每个村庄收到电脑后，会立即安装一款软件，第 (i) 个村庄安装软件需要花费 (c[i]) 的时间。小明最终返回 (1) 号结点后，才会给自己安装软件。问所有村庄都安装完软件最少需要多长时间。
输入格式
一个 (n)，表示结点个数；
(n) 个数，表示每个结点安装软件需要花费的时间
(n-1) 行，每行两个数，表示每条边
输出格式
就是最少时间
输入样例
6
1 8 9 6 3 2
1 3
2 3
3 4
4 5
4 6
输出样例
11
分析
我们考虑这个题目的答案的构成。需要最少的时间，一部分是他走完所有村庄的时间的开销 (+) 他自己安装软件；
另一部分是返回到 (1) 号结点后等待其他村庄安装完成的时间，两者取最大值即可。
对于后者来说，我们必须先求出返回每棵子树的根结点后，还需要等待的时间，才能退出最终结果。
因此，我们尅定义 (f[i]) 表示返回以 (i) 为根的子树的根结点 (i)，要完成安装，还需要等待的时间。
- 对于以 (i(i>1)) 号结点为根的子树，从 (i) 出发走完并返回 (i) 所需要的时间为 (2 imes (size[i]-1))，其中(size[i]) 表示子树 (i) 总共的结点个数。
- 那么只考虑自己安装软件的情况下，需要等待的时间为 (a[i]-2 imes(size[i]-1))，如果小于 (0)，说明返回后软件已经安装完成，所以对结果的真正的贡献为 (max(0, a[i]-2 imes(size[i]-1)))
- 当然可能他的子孙结点的安装软件速度很慢，有可能大于上述的贡献值，因此我们还要考虑子结点的贡献。
- 由于 (i) 每个孩子结点都会有一个等待时间，因此我们在走的时候，优先走等待时间长的，把等待的时间消耗在遍历其他孩子的路上，这样才能使得结果最优，证明还没想好，稍后附上……
我们在求得每个孩子 (son[j]) 的最少等待时间后，按照等待时间将序排列，依次更新父结点的等待时间，递推式如下：
假设在处理孩子 (son[j]) 之前，需要等待的时间为 (f[i])，此时再来一个孩子 (son[j])，那么等待时间需要更新为 (max(f[i]-size[son[j]], f[son[j]]-1, 0))，即原来的等待时间减去遍历 (son[j]) 消耗的时间，与 (son[j]) 提供的等待时间（减 (1) 是要从孩子结点回到父结点）的最大值，同时，这里面也包含了上面“只考虑自己安装软件”的情况。
因此，我们综合一下上面的式子：- 起初刚到 (i) 的时候，要安装软件，所以 (f[i] = a[i])
- (f[i]=max(f[i]-size[son[j]], f[son[j]]-1, 0))，其中第一项为 (i) 自身安装的贡献，第二项为 (son[j]) 的贡献，第三项理所当然最少的等待时间为 (0)。
- 最终的答案特殊处理一下，因为 (1) 号结点最后安装，所以(ans=max(a[1], f[1])+2 imes (size[1]-1))
注意，这里的 (a[1]) 最开始改成了 (0)，因为开始 (1) 不安装，最后求解的时候再将 (a[1]) 改回原值
部分代码
void dfs(int now, int fa) { // 返回i为根的子树，所有都安装完最小等待时间
vector<Node> vet;
size[now] = 1;
f[now] = a[now];
for (int i = head[now]; i; i = e[i].next) {
int to = e[i].to;
if (to == fa) continue;
dfs(to, now);
size[now] += size[to];
vet.push_back(Node(to, f[to]));
}
sort(vet.begin(), vet.end()); // 对孩子的等待时间降序排列
for (int i = 0; i < vet.size(); ++i) {
int son = vet[i].id;
// f[son]-1表示son返回父结点后还需要等待的时间
// f[now]-(size[son]<<1)表示从now跑完son这棵子树返回后还需要等待的时间
f[now] = max(max(f[son]-1, (ll)0), f[now]-(size[son]<<1));
}
}
// 最后的答案，x 为原来 1 安装的耗时
printf("%lld", max(f[1], (ll)x)+(size[1]-1<<1));