最小生成树Minimum Spanning Tree
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。
树: 无回路
|V|个顶点，一定有|V|-1条边
生成树: 包含全部顶点
|V|-1 条边都在图里
边权重和最小
最小生成树存在<--->图联通
向生成树中任加一条边都一定构成回路
贪心算法
“贪”：每一步都要最好的
“好”：权重最小的边
需要约束：
①只能用图里有的边
②只能正好用掉|V|-1条边
③不能有回路
Prim算法— 让一棵小树长大
| 步骤 | |
| 1 | 任意选取v1为顶点开始，并将v1收录进MST |
| 2 | v1有三条边，选取最短边(v1,v4)为1，并将v4收录进MST |
| 3 | MST={v1,v4}的边中在选取最小的(v1,v2)为2，将v2收录进MST |
| 4 | MST={v1,v4,v2}，选(v4,v3)为2，将v3收录进MST |
| 5 | 不能选(v4,v2)3，会构成回路。所以接着选(v4,v7)4，将v7收录进MST |
| 6 | 选(v7,v6)为1，将v6收录进MST |
| 7 | (v7,v5)6，将v7收录进MST |
T = O(|V|^2) ---稠密图合算
1 /* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */ 2 3 Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] ) 4 { /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */ 5 Vertex MinV, V; 6 WeightType MinDist = INFINITY; 7 8 for (V=0; V<Graph->Nv; V++) { 9 if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) { 10 /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */ 11 MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */ 12 MinV = V; /* 更新对应顶点 */ 13 } 14 } 15 if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */ 16 return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */ 17 else return ERROR; /* 若这样的顶点不存在，返回-1作为标记 */ 18 } 19 20 /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */ 21 int Prim( MGraph Graph, LGraph MST ) 22 { 23 WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight; 24 Vertex parent[MaxVertexNum], V, W; 25 int VCount; 26 Edge E; 27 28 /* 初始化。默认初始点下标是0 */ 29 for (V=0; V<Graph->Nv; V++) { 30 /* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */ 31 dist[V] = Graph->G[0][V]; 32 parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */ 33 } 34 TotalWeight = 0; /* 初始化权重和 */ 35 VCount = 0; /* 初始化收录的顶点数 */ 36 /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */ 37 MST = CreateGraph(Graph->Nv); 38 E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */ 39 40 /* 将初始点0收录进MST */ 41 dist[0] = 0; 42 VCount ++; 43 parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */ 44 45 while (1) { 46 V = FindMinDist( Graph, dist ); 47 /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */ 48 if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */ 49 break; /* 算法结束 */ 50 51 /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */ 52 E->V1 = parent[V]; 53 E->V2 = V; 54 E->Weight = dist[V]; 55 InsertEdge( MST, E ); 56 TotalWeight += dist[V]; 57 dist[V] = 0; 58 VCount++; 59 60 for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */ 61 if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) { 62 /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */ 63 if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) { 64 /* 若收录V使得dist[W]变小 */ 65 dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */ 66 parent[W] = V; /* 更新树 */ 67 } 68 } 69 } /* while结束*/ 70 if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */ 71 TotalWeight = ERROR; 72 return TotalWeight; /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */ 73 }
Kruskal算法— 将森林合并成树
| 步骤 | |
| 1 | 选取一条最小边(v1,v4)为1 |
| 2 | 选取一条最小边(v6,v7)为1 |
| 3 | 选取一条最小边(v1,v2)为2 |
| 4 | 选取一条最小边(v3,v4)为2 |
| 5 | 不能选取最小边(v2,v4)3会构成回路 |
| 6 | 选取一条最小边(v7,v4)为4 |
| 7 | 选取一条最小边(v5,v7)为6 |
T= O(|E|log|E|)
1 /* 邻接表存储 - Kruskal最小生成树算法 */ 2 3 /*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/ 4 typedef Vertex ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */ 5 typedef Vertex SetName; /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */ 6 typedef ElementType SetType[MaxVertexNum]; /* 假设集合元素下标从0开始 */ 7 8 void InitializeVSet( SetType S, int N ) 9 { /* 初始化并查集 */ 10 ElementType X; 11 12 for ( X=0; X<N; X++ ) S[X] = -1; 13 } 14 15 void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 ) 16 { /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */ 17 /* 保证小集合并入大集合 */ 18 if ( S[Root2] < S[Root1] ) { /* 如果集合2比较大 */ 19 S[Root2] += S[Root1]; /* 集合1并入集合2 */ 20 S[Root1] = Root2; 21 } 22 else { /* 如果集合1比较大 */ 23 S[Root1] += S[Root2]; /* 集合2并入集合1 */ 24 S[Root2] = Root1; 25 } 26 } 27 28 SetName Find( SetType S, ElementType X ) 29 { /* 默认集合元素全部初始化为-1 */ 30 if ( S[X] < 0 ) /* 找到集合的根 */ 31 return X; 32 else 33 return S[X] = Find( S, S[X] ); /* 路径压缩 */ 34 } 35 36 bool CheckCycle( SetType VSet, Vertex V1, Vertex V2 ) 37 { /* 检查连接V1和V2的边是否在现有的最小生成树子集中构成回路 */ 38 Vertex Root1, Root2; 39 40 Root1 = Find( VSet, V1 ); /* 得到V1所属的连通集名称 */ 41 Root2 = Find( VSet, V2 ); /* 得到V2所属的连通集名称 */ 42 43 if( Root1==Root2 ) /* 若V1和V2已经连通，则该边不能要 */ 44 return false; 45 else { /* 否则该边可以被收集，同时将V1和V2并入同一连通集 */ 46 Union( VSet, Root1, Root2 ); 47 return true; 48 } 49 } 50 /*-------------------- 并查集定义结束 --------------------*/ 51 52 /*-------------------- 边的最小堆定义 --------------------*/ 53 void PercDown( Edge ESet, int p, int N ) 54 { /* 改编代码4.24的PercDown( MaxHeap H, int p ) */ 55 /* 将N个元素的边数组中以ESet[p]为根的子堆调整为关于Weight的最小堆 */ 56 int Parent, Child; 57 struct ENode X; 58 59 X = ESet[p]; /* 取出根结点存放的值 */ 60 for( Parent=p; (Parent*2+1)<N; Parent=Child ) { 61 Child = Parent * 2 + 1; 62 if( (Child!=N-1) && (ESet[Child].Weight>ESet[Child+1].Weight) ) 63 Child++; /* Child指向左右子结点的较小者 */ 64 if( X.Weight <= ESet[Child].Weight ) break; /* 找到了合适位置 */ 65 else /* 下滤X */ 66 ESet[Parent] = ESet[Child]; 67 } 68 ESet[Parent] = X; 69 } 70 71 void InitializeESet( LGraph Graph, Edge ESet ) 72 { /* 将图的边存入数组ESet，并且初始化为最小堆 */ 73 Vertex V; 74 PtrToAdjVNode W; 75 int ECount; 76 77 /* 将图的边存入数组ESet */ 78 ECount = 0; 79 for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ ) 80 for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) 81 if ( V < W->AdjV ) { /* 避免重复录入无向图的边，只收V1<V2的边 */ 82 ESet[ECount].V1 = V; 83 ESet[ECount].V2 = W->AdjV; 84 ESet[ECount++].Weight = W->Weight; 85 } 86 /* 初始化为最小堆 */ 87 for ( ECount=Graph->Ne/2; ECount>=0; ECount-- ) 88 PercDown( ESet, ECount, Graph->Ne ); 89 } 90 91 int GetEdge( Edge ESet, int CurrentSize ) 92 { /* 给定当前堆的大小CurrentSize，将当前最小边位置弹出并调整堆 */ 93 94 /* 将最小边与当前堆的最后一个位置的边交换 */ 95 Swap( &ESet[0], &ESet[CurrentSize-1]); 96 /* 将剩下的边继续调整成最小堆 */ 97 PercDown( ESet, 0, CurrentSize-1 ); 98 99 return CurrentSize-1; /* 返回最小边所在位置 */ 100 } 101 /*-------------------- 最小堆定义结束 --------------------*/ 102 103 104 int Kruskal( LGraph Graph, LGraph MST ) 105 { /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */ 106 WeightType TotalWeight; 107 int ECount, NextEdge; 108 SetType VSet; /* 顶点数组 */ 109 Edge ESet; /* 边数组 */ 110 111 InitializeVSet( VSet, Graph->Nv ); /* 初始化顶点并查集 */ 112 ESet = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode)*Graph->Ne ); 113 InitializeESet( Graph, ESet ); /* 初始化边的最小堆 */ 114 /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */ 115 MST = CreateGraph(Graph->Nv); 116 TotalWeight = 0; /* 初始化权重和 */ 117 ECount = 0; /* 初始化收录的边数 */ 118 119 NextEdge = Graph->Ne; /* 原始边集的规模 */ 120 while ( ECount < Graph->Nv-1 ) { /* 当收集的边不足以构成树时 */ 121 NextEdge = GetEdge( ESet, NextEdge ); /* 从边集中得到最小边的位置 */ 122 if (NextEdge < 0) /* 边集已空 */ 123 break; 124 /* 如果该边的加入不构成回路，即两端结点不属于同一连通集 */ 125 if ( CheckCycle( VSet, ESet[NextEdge].V1, ESet[NextEdge].V2 )==true ) { 126 /* 将该边插入MST */ 127 InsertEdge( MST, ESet+NextEdge ); 128 TotalWeight += ESet[NextEdge].Weight; /* 累计权重 */ 129 ECount++; /* 生成树中边数加1 */ 130 } 131 } 132 if ( ECount < Graph->Nv-1 ) 133 TotalWeight = -1; /* 设置错误标记，表示生成树不存在 */ 134 135 return TotalWeight; 136 }