【区间DP】加分二叉树

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1040#sub

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分（2）tree的前序遍历

输入输出格式

输入格式：

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出格式：

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例

输入样例#1：

5
5 7 1 2 10

输出样例#1：

145
3 1 2 4 5

解题思路（某学长讲过的题，印象深刻）

    （1）区间DP：树的中序遍历是有序的，左儿子右儿子很明确。树在遍历中是一段连续区间，满足局部最优->全局最优。

    （2）树的先序遍历输出：记录每一段的根即可。

代码

#include<iostream>
using namespace std;
long long n,f[37][37],a,b,root[37][37];
void dfs(int l,int r){//先序遍历输出 
    if(l>r) return;
    if(l==r){
        cout<<root[l][r]<<' ';
        return;
    }
    cout<<root[l][r]<<' ';
    dfs(l,root[l][r]-1);
    dfs(root[l][r]+1,r);
}
int main(){
    cin>>n;//节点数 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>f[i][i],root[i][i]=i,f[i][i-1]=1;//预处理根，DP数组，因为相乘，所有边界设为1 
    for(int i=n;i>=1;i--)//枚举起点 
        for(int j=i+1;j<=n;j++)//枚举终点 
            for(int k=i;k<=j;k++){//枚举根 
                a=f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k],b=f[i][j];
                if(a>b) f[i][j]=a,root[i][j]=k;
                if(a==b&&root[i][j]>k) root[i][j]=k;
            }
    cout<<f[1][n]<<endl;
    dfs(1,n);
    return 0;
}

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