数论模板
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此处均为代码，学习出门右转
一、公约数、公倍数
GCD
int gcd(int x,int y){
return !y?x:gcd(y,x%y);
}
LCM
int lcm(int x,int y){
return x/gcd(x,y)*y;
}
拓展欧几里得
int x,y;
int ex_gcd(int a,int b){
if(!b){
x=1,y=0;return a;
}
int temp=ex_gcd(b,a%b);
x=y,y=temp-a/b*y;
return temp;
}
二、筛素数
埃拉托色尼筛法
int cnt,prime[maxn];
bool not_pr[maxn];
void Get_Prime(int x){
not_pr[1]=1;
for(int i=2;i<=x;++i)
if(!not_pr[i]){
prime[++cnt]=i;
for(int j=i*i;j<=x;j+=i) not_pr[j]=1;
}
}
线性筛
int cnt,prime[maxn];
bool not_pr[maxn];
void Get_Prime(int x){
not_pr[1]=1;
for(int i=2;i<=x;++i){
if(!not_pr[i]) prime[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){
not_pr[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
在(O(nlogn))时间内筛除n以内所有数的素因子
int cnt,prime[maxn],pre[maxn];
bool not_pr[maxn];
void Get_Prime(int x){
not_pr[1]=1;
for(int i=2;i<=x;++i){
if(!not_pr[i]) prime[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt;++j){
if(i*prime[j]>x) break;
not_pr[i*prime[j]]=1,pre[i*prime[j]]=j;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
void Get_Ans(int x){
for(int i=1;i<=x;++i){
printf("%d:",i);
int di=i;
while(di!=1) printf("%d",prime[pre[di]]),di/=prime[pre[di]];
}
}
三、求欧拉(φ)函数
埃拉托色尼筛法
int cnt,prime[maxn],phi[maxn];
bool not_pr[maxn];
void euler(int x){
for(int i=1;i<=x;++i) phi[i]=i;
for(int i=2;i<=x;++i)
if(!not_pr[i]){
prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=i*i;j<=x;++j){
not_pr[j]=1,phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
}
}
欧拉筛
int cnt,prime[maxn],phi[maxn];
bool not_pr[maxn];
void euler(int x){
phi[1]=1,not_pr[1]=1;
for(int i=2;i<=x;++i){
if(!not_pr[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=cnt;++j){
if(i*prime[j]>x) break;
not_pr[i*prime[j]]=1;
if(!(i%prime[j])) phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
四、求逆元
单个数求逆元
int x,y;
int ex_gcd(int a,int b){
if(!b){
x=1,y=0;return a;
}
int temp=gcd(b,a%b);
x=y,y=temp-a/b*y;
return temp;
}
int cal(int a,int m){//ax%m==1,求最小的x
int Gcd=gcd(a,m);
if(1%Gcd!=0) return -1;
x*=1/Gcd,m=abs(m);
int ans=x%m;
if(ans<=0) ans+=m;
return ans;
}
快速幂求逆元
若(p)为质数，(a^{(p-1)}~ mod ~p=1,a)的逆元为(a^{(p-2)})；若(p)不是质数，(a^{phi[p]} ~mod ~p=1)，(a)的逆元为(a^{phi[p]-1})。
线性筛逆元
int inv[maxn];
void Get_inv(int x){
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=x;++i) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}
快速幂
快速幂
int qpow(int x,int k){
int a=1;
while(k){
if(k&1) a*=x;
x*=x;
k>>=1;
}
return a;
}
取膜快速幂
int powmod(int a,int k,int p){
long long a=1;
while(k){
if(b&1) a=1ll*a*x%p;
x=1ll*x*x%p;
k>>=1;
}
return a;
}
组合数
void init_C(){
for(int i=0;i<=n;++i) c[i][0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=i;++j)
c[i][j]+=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
}
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