判断多边形边界曲线顺/逆时针 两种方法

方法一：Green公式

 

Green公式揭示了平面区域的二重积分和封闭曲线上的线积分的关系。

其中L＋表示沿着封闭区域的边界曲线正向。 

并且由Green公式的推导过程我们知道：

 

这里若L=-y,可以保证(1)式子在区域中恒正，且等于封闭区域面积。

同理，M=x,也可以保证(2)式子在区域中恒正，且等于封闭区域面积。

所以我们只需沿着多边形的边求曲线积分,若积分为正,则是沿着边界曲线正方向(逆时针),反之为顺时针,且所得绝对值为多边形面积。

NOTE：边界曲线的正向即沿着边界曲线，单连通区域总在边界曲线的左边。（这里边界曲线正向，即我们所看到的逆时针方向）

这里假设我们程序中的多边形点为(x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂), . . . (x_n-1,y_n-1)

我们来计算沿着点(x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂), . . . (x_n-1,y_n-1)的曲线积分。

其中对于每段分割线段，y取( yn + yn+1)  / 2 , dx=xn+1 - xn   

d=0;
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
    d+= －0.5*(y[i+1]+y[i])*(x[i+1]-x[i]);
}
if(d>0)
    std::cout<<"counter clockwise"<<std::endl;
else
    std::cout<<"clockwise"<<std::endl;

方法二：端点判断

这个方法比较简单，遍历所有点，找到x最大的点Pm（该点一定在最右端曲线的“凸起”部分上），然后取该点前后各一个点Pm-1、Pm+1，组成向量(Pm-1,Pm)、(Pm,Pm+1)。然后进行向量叉乘即可判断出顺时针或逆时针。

如图，规定向量叉乘使用“右手定则”

＋表示该点Pm和前后两个点组成的两个向量(Pm-1,Pm)、(Pm,Pm+1),叉乘得到的向量指向z轴负方向；

－表示(Pm-1,Pm)x(Pm,Pm+1)得到的向量指向z轴方向。

NOTE：这里必须进行遍历寻找凸点，否则若多边形含有凹的部分，并且选取的点于凹部分中，会得到相反的结果。