牛客小白月赛6 J 洋灰三角 数学

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/136/J
来源：牛客网

题目描述

    洋灰是一种建筑材料，常用来筑桥搭建高层建筑，又称，水泥、混凝土。

    WHZ有很多铸造成三角形的洋灰块，他想把这些洋灰三角按照一定的规律放到摆成一排的n个格子里，其中第i个格子放入的洋灰三角数量是前一个格子的k倍再多p个，特殊地，第一个格子里放1个。
    WHZ想知道把这n个格子铺满需要多少洋灰三角。

输入描述:

第一行有3个正整数n，k，p。

输出描述:

输出一行，一个正整数，表示按照要求铺满n个格子需要多少洋灰三角，由于输出数据过大，你只需要输出答案模1000000007(1e9+7)后的结果即可。

示例1

输入

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3 1 1

输出

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6

说明

洋灰三角铺法：1 2 3，总计6个

示例2

输入

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3 2 2

输出

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15

说明

洋灰三角铺法：1 4 10，总计15个

示例3

输入

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3 3 3

输出

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28

说明

洋灰三角铺法：1 6 21，总计28个

备注:

对于100%的测试数据：
1 ≤ n ≤ 1000000000
1 ≤ k,p ≤ 1000

分析：
　　k=1时:
　　f(n)为等差数列，S(n)=n*(n-1)/2*p+n
　　k!=1时：
　　f(n) = k*f(n-1)+p 
　　S(n)=f(1)+f(2)+...+f(n)=1+k+k^2+...+k^(n-1)+k^(n-2)*p+2*k^(n-3)*p+...+(n-2)*k*p+(n-1)*p
　　=(k^n-1)/(k-1)+p*(k^n-1)/(k-1)^2-p*n/(k-1)=(1+p/(k-1))*(k^n-1)/(k-1)-p*n/(k-1)
S（n）求解过程：
第一部分S1=f(1)+f(2)+...+f(n)=1+k+k^2+...+k^(n-1)是个等比数列直接用等比数列求和公式求
后面一部分S2=k^(n-2)*p+2*k^(n-3)*p+...+(n-2)*k*p=p*(k^(n-2)+2*k^(n-3)+...+(n-2)*k)
考虑求g(n)=k^(n-2)+2*k^(n-3)+...+(n-2)*k
设f(n)=k^(n-1)+k^(n-2)+...+k^2
则f'(n)=(n-1)*k^(n-2)+(n-2)*k^(n-3)+...+2*k
所以：n*f(n)/k = n*k^(n-2)+n*k^(n-3)+...+n*k
所以：n*f(n)/k-f'(n)=k^(n-2)+2*k^(n-3)+...+(n-2)*k
即 g(n)=n*f(n)/k-f'(n)
f(n)的式子为等比数列可根据等比数列求和公式得出，f'(n)为f(n)的求导式
最后一部分：(n-1)*p
三部分相加就是S(n)的结果了

AC代码：

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <bitset>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls (r<<1)
#define rs (r<<1|1)
#define debug(a) cout << #a << " " << a << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 1e6+10;
const ll mod = 1e9+7;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
ll qow( ll a, ll b ) {
    ll ans = 1;
    while( b ) {
        if( b&1 ) {
            ans = ans*a%mod;
        }
        a = a*a%mod;
        b /= 2;
    }
    return ans;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    ll n, k, p;
    while( cin >> n >> k >> p ) {
        if( k == 1 ) {
            cout << (n-1)*n/2*p+n << endl;
        } else {
            ll ans=(1+p*qow(k-1,mod-2)%mod)%mod*((qow(k,n)-1+mod)%mod)%mod*qow(k-1,mod-2)%mod;
            ans=(ans-p*qow(k-1,mod-2)%mod*n%mod+mod)%mod;
            cout << ans << endl;
        }
    }
    return 0;
}