斜率优化
hdu3507
要输出N个正数字 (a[N])，输出的时候可以连续的输出，每连续输出一串，它的费用是 ：这串数字和的平方加上一个常数 (M)。 求费用最小。
网课手推式子
(f[i] = min{f[j] + sum[i - j + 1]^2+M})
上述式子正确
时间复杂度为 (O(N^2)),(500000) 直接起飞~
前方高能
我们对上述式子进行定义：
我们定义两个决策点，(j, k) 并且 (j > k), 那么我们要想使 (dp) 值从 (j) 转移的解比从 (k) 的更优的条件应该符合什么？
代入式子得：
(f[i]+(s[i+1]-s[j])^2+M < f[k]+(s[i+1]-s[k])^2+M)
移项得
(f[j]+s[j]^2] - f[k]+s[k]^2 < 2 imes s[i+1] imes(s[j]-s[k]))
最终得
(dfrac{(f[j]+s[j]^2) + (f[k]+s[k]^2)}{s[j]-s[k]}<2 imes s[i+1])
令 (dp[x] = f[x]+s[x]^2),代换得
(dfrac{dp[j]-dp[k]}{s[j]-s[k]}<2 imes s[i+1])
故当条件满足上述不等关系时，(j) 比 (k) 转移更优，((j>k)这里指的是位置更靠后)
我们将((s[k],dp[k])) 看做一个点的话，那么上述式子则表示的就是斜率公式（纵差比横差），故我们可以画出两点之间的斜率
那么对于我们所求的当前 (f[t]) ，中上述三个决策点的劣优就可以得到了 为：(k＜j<i),前提是我们必须知道不等关系右边的大小
现在推到广义上，(j，k,i) 变量之间不知道存在的位置大小关系，
那么就存在三种情况
第一种：
(dfrac{dp[j]-dp[k]}{s[j]-s[k]}>dfrac{dp[i]-dp[j]}{s[i]-s[j]}>2 imes s[t+1])
优劣程度：(i<j<k)
第二种
(dfrac{dp[j]-dp[k]}{s[j]-s[k]}>2 imes s[t+1]>dfrac{dp[i]-dp[j]}{s[i]-s[j]})
优劣程度：(i>k>j)
第三种
(2 imes s[t+1]>dfrac{dp[j]-dp[k]}{s[j]-s[k]}>dfrac{dp[i]-dp[j]}{s[i]-s[j]})
优劣程度：(i>j>k)
故我们在这三种情况下得出不可能是最优的，那么它就可以不做决策点，即上凸图像不可做决策点
因此我们只需要维护下凸点即可，具体就是用队列进行维护
对于不同的斜率不等式，需要维护的凸点是不同的，小于就是维护下凸，大于维护上凸
问题是凸包中谁是更优呢？
自然就是斜率不大于当前斜率
边界是 (s[t+1])
优劣程度：(k >l>j>i)
若大于，则前者优
若小于，则后者优，故 (k) 比 (l) 更优
二分（在右侧不存在单调性）
实现方式：
找到不大于 (s[t+1]) 的最大位置，如果判断出 (k) 比 (j) 优，那么往后的 (s[t+2,+3,+4...]) 都不会在用到 (j),因此可以将 (j) 剔除，为什么？因为 (s[i]) 存在单调性，往后的值只会用到当前有用的决策点，并且优先选择更优的决策点，那么留着 (j) 干什么，所以提出
这个过程可以利用单调队列来维护，保证队列中一直是当前有用决策点的集合
对于当前不合法的就直接出队， 合法但不是已经有比他更优的也弹出队
int getup(int j, int k)
{
return dp[j] + sum[j] * sum[j] - dp[k] - sum[k] *sum[k]
}//推导式中上部分
int getdown(int j, int k)
{
return 2 * (sum[j] - sum[k])
}
int getdp(int i, int j)
{
return dp[j] + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]) + m
}
head = tail = 1;
q[1] = 0;
for (int i = 1; i<= n; i++)
{
while (head < tail && getup(q[head+1], q[head])) <= sum[i] * getdown(q[head+1], q[head]) head++;
//(合法与不合比较)
dp[i] = getdp(i, q[head]);
while (head < tail && getup(i, q[tail]) * getdown(q[tail], q[tail-1])<=getup(q[tail], q[tail] - 1) * getdown(i, q[tail])) tail--;
//队首的下一个比队首更优，那么就将它弹出
//合法中更优解比较，若斜率之比更小1，那么前者小于后者，即 i 优于 tail, 那么tail 在以后的比较将不会被用到，那么弹出
q[++tail] = i;
//将可能是以后的更优解加入队列，为什么是可能？因为它可能也会被下一个所代替，不过还是需要让他入队，
//我们不知道他的作用，即使无用在下一次的决策点判断中也会弹出
}
引进概念
类型 ： 优化状态转移
模式：
假定决策点之间的位置关系，
代入推公式
得到斜率公式，跑单调队列
"(<)" 维护下凸 "(>)" 维护上凸
BZOJ3156
推到的话我就省略了，为了简单好推，用 (k=k+1,j=j+1)
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int A = 1e7+10;
const int B = 1e6+10;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline ll read() {
char c = getchar();
ll x = 0, f = 1;
for ( ; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -1;
for ( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);
return x * f;
}
ll n,a[B],f[B],head,tail,q[B],ans,t;
double xie(ll k,ll j)
{
return ((2.0*(f[k]-f[j])+k*(k+1)-j*(j+1))/(2*k-2*j));
}
int main()
{
n=read();
for (ll i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for (ll i=1;i<=n/2;i++) t=a[i],a[i]=a[n-i+1],a[n-i+1]=t;
head=tail=1ll;
q[1]=1ll;
f[1]=a[1];
ans=a[1]+1ll*n*(n-1)/2ll;
for (ll i=2;i<=n;i++)
{
while (head<tail && xie(q[head+1],q[head])<i) head++;
f[i]=f[q[head]]+1ll*(i-q[head])*(i-q[head]-1)/2+a[i];
ans=min(ans,f[i]+1ll*(n-i+1)*(n-i)/2);
while (head<tail && xie(q[tail],q[tail-1])>xie(i,q[tail])) tail--;
q[++tail]=i;
}
printf("%lld",ans);
}
总结
斜率优化就是通式
(dp[i] = max/min{f[j]+g[i] imes h[j]}+a[i])
抽象的点 (X) 需要单调， (Y) 不需要
不等式右边的需要保证单调性，不单调就二分查找维护