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年后排序+ST表+ksm+矩阵ksm+斐波那契数列矩阵ksm+归并排序

看点

牛逼的斐波那契切矩阵快速幂

排序

STL针对区间的函数

(sort)
(merge_sort),归并
(quick_sort)，快速
(heap_sort)，堆排序

其他

(reverse (a+1,a+n+1)) 翻转 (a+1)到 (a+n)
(unique (a+1,a+n+1)) 去重数组，例子:(11233556667-->1234567...),前提条件，去重数组必须是有序

//unique有返回值的
//int m=unique(z+1,z+n+1)-z-1,去重得到的数量
z[1]--z[n];
sort（z+1, z+1+n）;
int m=unique(z+1,z+1+n)-z-1;

计数排序（桶排序）

(n<10^6, a[i]<10^6)

桶： (cnt[])

线性算法：(O(N+M))

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v;
		scanf（"%d",&v）;
		cnt[v]++;
	}
	for (int a=0;a<=1000000;a++)
		for (int b=1;b<=cnt[a];b++)
			printf("%d
",a);
}
//条件范围只可以小于1000000
//复杂度O(M+N)

归并排序（分治）

核心思想：分

三个目标：左排序，右排序，归并，无限循环

分：dfs

治：两个指针每次比较左右两边最小的数，通过不断的比较，可以将两个有序数组组成一个有序数组

(O(nlogn))

分成 (logN) 层
每一层都是 (O(N)), 所以 (O(NlogN))

int z[23333];

void merge_sort(int l,int r)//现在对z[1]--z[n]归并排序
{
	//分
	if (l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	merge_sort(1,mid);
	mergr_sort(mid+1,r);
    //治
    int p1=l, p2=mid+1;//p1代表左边第一个数， p2 代表右边第一个数
    for (int a=l;a<=r;a++)
    {
        if (p1>mid) y[a]=z[p2++];//左边的数都用逛了
        else if(p2>r) y[a]=z[p1++];
        else if(z[p1]<z[p2]) y[a]=z[p1++];
        else y[a]=z[p2++];
          
    }
    for (int a=l;a<=r;a++) z[a]=y[a];
}
//O(nlogn)

逆序对

条件： (i<j,a[i]>a[j])

思路：

分:存在三种情况左右中，算出三种情况的数量并合起来

治:排序的过程,计算中的情况

如果治时在去右边去数时，加上最右边x就可以,妙蛙~

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define int long long 

using namespace std;

const int B=1e6+10;

int z[B],n,y[B];
int ans;

int merge_sort(int l,int r)
{
  if (l==r) return 0;
  int mid=(l+r)>>1;
  int  ans=merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r);
  
  int p1=l,p2=mid+1;
  for (int i=l;i<=r;i++)
  {
    if(p1>mid) y[i]=z[p2++];
    else if(p2>r) y[i]=z[p1++];
    else if(z[p1]<=z[p2]) y[i]=z[p1++];
    else y[i]=z[p2++],ans+=mid-p1+1;
  }
  for (int i=l;i<=r;i++) z[i]=y[i];
  return ans;
}   

 main()
{
  scanf("%lld",&n);
  for (int i=1;i<=n;i++)  scanf("%lld",&z[i]);
  int ans=merge_sort(1,n);
  printf("%lld",ans); 
}

前缀和思想

Q:"%^@%&*&@#^^@@!#&&&%&^((%&%"

变式 1：

(a_1 imes a_2 imes a_3 imes a_4..a_n)

求(a_l... imes a_r)

(frac{sum[r]}{sum[l]})

变式 2：

是否可以用前缀和维护前缀最大值?

(b_i=max{a_1,a_2})

无法得到区间最大值

这叫做不满足区间减法性质

那么改如何求

ST表--> (动态规划)

(f[i][j]) 从(a_i) 开始的 (2^j) 个数的最大值

目标

求(f[i][j])

初始化 (f[i][0]=a_i)

(f[i][j] = max{f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1]})

思想：分治

int f[10010][20];

int main()
{
	scanf("%d",&n)
	for (int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	//先枚举j在枚举i,先求j-1,在知道j，
	for (int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[i];
	// x << y = x*2^y
	// x >> y = x/2^y
	for (int j=1;(1<<j)<=n;j++)//（1<<j)=2^j
		for (int i=1; i + (1<<j) - 1 <=n;i++)//i+(1<<j)-1 右端点
			f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1)][j-1])
}

用(f[i][j]) 求最大值

求（2--5）的最大值 (f[2][2])

求（2--6）的最大值

在求(max) 中重复数字出现是不影响答案

那么问题二就是，一个长度为 (5) 的区间可以盖住两个 (4) 区间即 (max{f[2][2],f[3][2]})

那么覆盖区间怎么找

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int B=1e5+10;

int f[B][20], k[B], n, a[B], m;

int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
  for (int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[i];
  for (int j=1;j<=21;j++)
    for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
      f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
  for (int i=1;i<=m;i++)
  {
      int l,r;
      scanf("%d%d",&l,&r);
      int kk=log2(r-l+1);
      printf("%d
",max(f[l][kk],f[r-(1<<kk)+1][kk])); 
  }    
}

快速幂

(x^y\%p)

(x<10^9)

举个栗子

求 (x^{37}= x^{18} imes x=x^{2 imes 9} imes x=x^{2 imes4 imes2} imes x imes x)

int ksm(int x, int p, int k){
  int res = 1;
  while(p)
  {
    if(p&1) res=x*res%k;
    x*=x;//不能同时乘和取模 
    x%=k;
    p>>=1;
  }
  return res%k;
}

矩阵乘法

矩阵大小相同才可进行运算法则

矩阵 (A(n imes m)) 和 (B(m imes k)) 相乘，要求第一个矩阵的列数必须要等于第二个矩阵的行数，得到矩阵(C(n imes k))

法则

具备结合律即 ((A imes B) imes C= A imes(B imes C))
不具备交换律即 (A imes B != B imes A)(因为横和高不同，形成的矩阵也就不同)
左分配律即 (A imes(B+C)=A imes B+A imes C)
右分配律即 ((A+B) imes C=A imes C + B imes C)

矩阵的零次幂

任何矩阵的 (0) 次幂又称单位矩阵 (E), 其定义是他的左上角到右下角的对角线（又称主对角线）为 (1), 其余全部为零 (0)

法则是：任何矩阵和单位矩阵 (E) 相乘都得本身，如图所示

[egin{bmatrix}1&cdots&0\vdots&1&vdots\0&cdots&1end{bmatrix} ]

模拟过程

[egin{bmatrix}1&2\3&4end{bmatrix} imesegin{bmatrix}1&2&3\4&5&6end{bmatrix} ]

若得到矩阵中((2,3)) 的数字则：

[H ofA 2_{nd} --3,4\ imes, imes\ L ofB 3_{rd} --3,3\ 9+12=21 ]

即 ((2,3)) 数字为 (21)

struct matrix
{
  int n,m;
  int z[10][10];
  matrix(){
    n=m=0;
    memset(z,0,sizeof(z));
  }
};

matrix  operator *(const matrix &m1, const matrix &m2)
{
  matrix m3;
  m3.n = m1.n;
  m3.m = m2.m;
  for (int i=1;i<=m3.n;i++)
    for (int j=1;j<=m3.m;j++)
      for (int k=1;k<=m1.m; k++)
        m3.z[i][j] += m1.z[i][k]*m2.z[k][j];
   return m3; 
}

int main(){
  matrix m1;
  m1.n=1,m1.m =2;
  m1.z[1][1]=1;m1.z[1][2]=2;
  
  matrix m2;
  m2.n=2; m2.m =2;
  m2.z[1][1]=1;m2.z[1][2]=1;
  m2.z[2][1]=1;m2.z[2][2]=0;
  matrix m3=m1*m2;
  for (int i=1;i<=m3.n;i++)
  {
    for (int j=1;j<=m3.m;j++)
      cout<<m3.z[i][j]<<" ";
    puts("");
  }
  return 0;
}

矩阵快速幂

int n, k; 
struct matrix
{
  int z[101][101];
};
matrix operator *(const matrix &m1, const matrix &m2)
{
  matrix m3;
  for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++)
      m3.z[i][j]=0;
  for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++)
      for (int k=1;k<=n;k++)
      {
        m3.z[i][j]+=m1.z[i][k]*m2.z[k][j]%mod;
        m3.z[i][j]%=mod;
      }
  return m3;
}
matrix ksm(matrix x,int p)
{
  matrix res;
 for (int i=1;i<=n;i++) res.z[i][i]=1;
  while(p>0){
    if(p&1) res=res*x;
    x=x*x;
    p>>=1;
  }
  return res;
}

main() {
  cin>>n>>k;
  matrix m1;
  for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++) 
    {
      cin>>m1.z[i][j];
    }
  matrix m=ksm(m1,k);
  for (int i=1;i<=n;i++){
      for (int j=1;j<=n;j++)
        cout<<m.z[i][j]<<" ";
    puts("");
  }
  return 0;
}

斐波那契矩阵快速幂(升级版)

首先斐波那契数列的通式是：

[f[i] = f[i-1]+f[i-2] ]

我们要求出 (f[n]) 就需要枚举，时间复杂度为 (O(n))

若用矩阵乘法和快速幂，就可达到 (O(logn))

原理：(f[i]) 受到前两项的影响，那么可以设置一个 (1 imes2) 的矩阵，原因是若所求受到的影响为 (n) 个变量，则可以设置一个 (1 imes n)的矩阵转移,即：

[egin{vmatrix}f[i]&f[i-1]end{vmatrix} ]

其次，利用矩阵乘法就要保证 (f[i]) 运算后是往后移一位的，与之相乘的一定是一个(2 imes 2) 的矩阵，怎么找呢？

我们不妨这么设

[egin{vmatrix}a&b\c&dend{vmatrix} ]

因为两者相乘后我们得到的答案为

[egin{vmatrix}f[i+1]&f[i]end{vmatrix} ]

所以可以列出方程式

[egin{cases}af[i]+cf[i-1]=f[i+1]\bf[i]+df[i-1]=f[i]end{cases} ]

我们可以有合并同类项可得二式的解为 (b=1,d=0)

而一式可以将右侧的 (f[i+1]) 拆分成 (f[i]+f[i-1]) 再进行合并同类项

得：(a=1,c=1)

综上所述，我们的相乘矩阵为：

[egin{vmatrix}1&1\1&0end{vmatrix} ]

那么式子就可以推导为

[egin{vmatrix}f[i]&f[i-1]end{vmatrix} imes egin{matrix}underbrace{egin{vmatrix}1&1\1&0end{vmatrix} imesegin{vmatrix}1&1\1&0end{vmatrix}..... imesegin{vmatrix}1&1\1&0end{vmatrix}}\nend{matrix}=egin{vmatrix}f[n+1]&f[n]end{vmatrix} ]

化简得

[egin{vmatrix}f[i]&f[i-1]end{vmatrix} imes egin{vmatrix}1&1\1&0end{vmatrix}^{n}=egin{vmatrix}f[n+1]&f[n]end{vmatrix} ]

因此我们可以用矩阵快速幂，在 (O(logn)) 级别求出

太妙了~

struct matrix
{
	int n,m;
	int z[10][10];
	matrix(){
		n=m=0;
		memset(z,0,sizeof(z));
	}
};
matrix operator*(const matrix &m1, const matrix &m2)
{
	matrix m3;
	m3.n = m1.n;
	m3.m = m2.m;//矩阵原理
	for (int i=1;i<=m3.n;i++)
		//乘法分配律，乘法交换律，思考？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
			for (int k=1;k<=m1.m;k++)
                	for (int j=1;j<=m3.m;j++)
				m3.z[i][j] += m1.z[i][k] * m2.z[k][j];
	return m3;//矩阵乘法
}
matrix ksm(matrix m, int n)
{
	if (n==0){//当n==0时存在一个特殊的矩阵上述会给出
		matrix z;
		z.n=z.m=m.n;
		for (int i=1;i<=z.n;i++)
			z.z[i][i]=1;//特殊的快速幂即只有对角线为1，其余全是0
		return z;
	}
	matrix z=ksm(m,n/2);
	z=z*z;
	if (n%2==1) z=z*m;//利用承载运算符，所以乘的时候直接就是矩阵乘法
	return z；
}


int main()
{
	scanf("%d",&n);
	matrix m1;
	m1.n =1;m1.m=2;
	m1.z[1][1]=1;m1.z[1][2]=0;
	
	matrix m2;
	m2.n=m2.m=2;
	m2.z[1][1]=1; m2.z[1][2]=1;
	m2.z[2][1]=1; m2.z[2][2]=0;
	m1 = m1 * ksm(m2, n);
	printf("%d
"m1.z[1][2]);
}

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