最长的回文子序列

给一个字符串，找出它的最长的回文子序列的长度。例如，如果给定的序列是“BBABCBCAB”，则输出应该是7，“BABCBAB”是在它的最长回文子序列。 “BBBBB”和“BBCBB”也都是该字符串的回文子序列，但不是最长的。注意和最长回文子串的区别(参考：最长回文串)！这里说的子序列，类似最长公共子序列LCS( Longest Common Subsequence)问题，可以是不连续的。这就是LPS(Longest Palindromic Subsequence)问题。

最直接的解决方法是：生成给定字符串的所有子序列，并找出最长的回文序列，这个方法的复杂度是指数级的。下面来分析怎么用动态规划解决。重点为找出状态和状态转换方程

1）最优子结构

假设 X[0 ... n-1] 是给定的序列，长度为n. 让 L(0,n-1) 表示 序列 X[0 ... n-1] 的最长回文子序列的长度。

1. 如果X的最后一个元素和第一个元素是相同的，这时：L(0, n-1) = L(1, n-2) + 2 , 还以 “BBABCBCAB” 为例，第一个和最后一个相同，因此 L(1,n-2) 就表示蓝色的部分。

2. 如果不相同：L(0, n-1) = MAX ( L(1, n-1) , L(0, n-2) )。 以”BABCBCA” 为例，L(1,n-1)即为去掉第一个元素的子序列，L(0, n-2)为去掉最后一个元素。

有了上面的公式，可以很容易的写出下面的递归程序：

2）重叠子问题

画出上面程序的递归树(部分)，已一个长度为6 的字符串为例：

            L(0, 5)

2

/

3

/

4	L(1,5)          L(0,4)

5	/                /

6	/                /

7	L(2,5)    L(1,4)  L(1,4)  L(0,3)

可见有许多重复的计算，例如L(1,4)。该问题符合动态规划的两个主要性质: 重叠子问题 和 最优子结构 。

方法一：递归解法，可用备忘录法（变种动态规划）改进

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int lps(char *seq, int i, int j)
{
    //一个元素即为1
    if (i == j)
        return 1;
    if (i > j) return 0; //因为只计算序列 seq[i ... j]

    // 如果首尾相同
    if (seq[i] == seq[j])
        return lps(seq, i + 1, j - 1) + 2;

    // 首尾不同
    return max(lps(seq, i, j - 1), lps(seq, i + 1, j));
}

/* 测试 */
int main()
{
    char seq[] = "acmerandacm";
    int n = strlen(seq);
    printf("The length of the LPS is %d", lps(seq, 0, n - 1));
    getchar();
    return 0;
}

Output: The lnegth of the LPS is 5 (即为: amama)

方法二：动态规划：自下而上的打表解法：

下面通过动态规划的方法解决，通过自下而上的方式打表，存储子问题的最优解。

int lpsDp(char * str, int n){
    int dp[n][n], tmp;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 0; i<n; i++) dp[i][i] = 1;
    // i 表示 当前长度为 i+1的 子序列
    for (int i = 1; i<n; i++){
        tmp = 0;
        //考虑所有连续的长度为i+1的子串. 该串为 str[j, j+i]
        for (int j = 0; j + i<n; j++){
            //如果首尾相同
            if (str[j] == str[j + i]){
                tmp = dp[j + 1][j + i - 1] + 2;
            }
            else{
                tmp = max(dp[j + 1][j + i], dp[j][j + i - 1]);
            }
            dp[j][j + i] = tmp;
        }
    }
    //返回串 str[0][n-1] 的结果
    return dp[0][n - 1];
}

该算法的时间复杂度为O(n^2)。其实这个问题和 最长公共子序列 问题有些相似之处，我们可以对LCS算法做些修改，来解决此问题:

1 对给定的字符串逆序 存储在另一个数组 rev[] 中

2 再求这两个 字符串的 LCS的长度

时间复杂度也为 O(n^2)。