排序
排序算法（英语：Sorting algorithm）是一种能将一串数据依照特定顺序进行排列的一种算法。
排序算法的稳定性
稳定性：稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的，当有两个相等键值的纪录R和S，且在原本的列表中R出现在S之前，在排序过的列表中R也将会是在S之前。
假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。
(4, 1) (3, 1) (3, 7)（5, 6）
在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是让相等键值的纪录维持相对的次序，而另外一个则没有：
(3, 1) (3, 7) (4, 1) (5, 6) （维持次序, 稳定排序）
(3, 7) (3, 1) (4, 1) (5, 6) （次序被改变，不稳定排序）
1. 冒泡排序
冒泡排序（英语：Bubble Sort）是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。
冒泡排序算法的运作如下：
- 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。
- 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。
- 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
- 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。
（1）分析
交换过程图示(第一次)：
那么我们需要进行n-1次冒泡过程，每次对应的比较次数如下图所示：
（2）代码实现
def bubble_sort(alist):
"""冒泡排序法"""
# 冒泡排序法需要进行n-1次冒泡过程
# 每一次需要比较的次数分别为：n-1,n-2,n-3,...,1
for j in range(len(alist)-1,0,-1):
for i in range(j):
if alist[i] > alist[i+1]:
alist[i],alist[i+1] = alist[i+1],alist[i]
li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
bubble_sort(li)
print(li)
[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
改进
有时候序列本身就可能已部分或全部排好序，不需要全部遍历交换一遍。如果没有遍历完就提前完成排序，可以直接退出。
思路是，可以对每一次冒泡过程的交换次数做个计数，若某个过程的交换次数已为0，则该子序列已经完成排序，则更小的子序列也一样是排好序的。
def bubble_sort(alist):
"""冒泡排序法的改进"""
# 冒泡排序法需要进行n-1次冒泡过程
# 每一次需要比较的次数分别为：n-1,n-2,n-3,...,1
for j in range(len(alist)-1,0,-1):
# 对每一次冒泡过程的交换次数计数
count = 0
for i in range(j):
if alist[i] > alist[i+1]:
alist[i],alist[i+1] = alist[i+1],alist[i]
count += 1
# 若还未遍历完全部冒泡过程就完成了排序，则可以提前退出
if count == 0:
break
li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
bubble_sort(li)
print(li)
[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
（3）时间复杂度
- 最优时间复杂度：(O(n)) （表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素，排序结束。改进法可以做到）
- 最坏时间复杂度：(O(n^2))
- 稳定性：稳定
2. 选择排序
选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到未排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到剩下的未排序序列的起始位置。以此类推，直到所有元素均排序完毕。
选择排序和冒泡排序的区别：
选择排序与冒泡排序都遍历未排序的元素进行比较，因此比较容易混淆。 选择排序与冒泡排序的区别在于 每一轮遍历比较未排序序列时，冒泡排序两两比较，最多可能交换n-1次位置，从而把最大值放到未排序序列尾部；而选择排序是两辆比较时不改变元素位置，只记录下未排序序列中最小值下标，最后最多只交换1次位置（最小值与未排序序列首交换位置）。
（1）分析
（2）代码
def select_sort(alist):
"""选择排序"""
n = len(alist)
# 注意边界值，可以画图理解
for i in range(n-1):
# min代表最小元素的下表，初始化取还未排序的第一个值
min = i
for j in range(i+1,n):
# 将最小元素与未排序的元素比较，若存在小于min下标对应的值，则更新min下标
if alist[min] > alist[j]:
min = j
# 将 未排序元素的第一个值 与 未排序元素中的最小值 交换位置
if min != i:
alist[i],alist[min] = alist[min],alist[i]
li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
select_sort(li)
print(li)
[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
（3）复杂度
- 最优时间复杂度：O(n2)
- 最坏时间复杂度：O(n2)
- 稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的情况）
3. 插入排序
插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。
(2) 分析
（2）代码
def insert_sort(alist):
"""插入排序"""
n = len(alist)
# 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入
for i in range(1, n):
# 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置
for j in range(i,0,-1):
if alist[j] < alist[j-1]:
alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
insert_sort(li)
print(li)
[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
改进
- 当alist[j] < alist[j-1] 需要交换位置
- 但是当alist[j] > alist[j-1]时，由于j-1之前都是有序的，即alist[j] 会大于alist[j-1]前的所有数，所以可以提前退出。
def insert_sort(alist):
"""插入排序"""
n = len(alist)
# 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入
for i in range(1, n):
# 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置
for j in range(i,0,-1):
if alist[j] < alist[j-1]:
alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
else:
break
li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
insert_sort(li)
print(li)
[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
（3）时间复杂度
- 最优时间复杂度：O(n) （升序排列，序列已经处于升序状态）
- 最坏时间复杂度：O(n2)
- 稳定性：稳定
4.希尔排序
希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。
希尔排序的基本思想是：将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序，重复这过程，不过每次用更长的列（步长更长了，列数更少了）来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法本身还是使用数组进行排序。
例如，假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步长为5开始进行排序，我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样(竖着的元素是步长组成)：
13 14 94 33 82
25 59 94 65 23
45 27 73 25 39
10
然后我们对每列进行排序：
10 14 73 25 23
13 27 94 33 39
25 59 94 65 82
45
将上述四行数字，依序接在一起时我们得到：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ]。这时10已经移至正确位置了，然后再以3为步长进行排序：
10 14 73
25 23 13
27 94 33
39 25 59
94 65 82
45
排序之后变为：
10 14 13
25 23 33
27 25 59
39 65 73
45 94 82
94
最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）
(1) 分析
（2）代码
def shell_sort(alist):
n=len(alist)
gap = n //2
while gap >0:
# 各个小组以gap为界，gap后的元素开始向前插入
for i in range(gap, n):
# 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素（相距gap），交换位置
for j in range(i, 0, -gap):
if alist[j] < alist[j-gap]:
alist[j], alist[j-gap] = alist[j-gap], alist[j]
else:
break
# 缩短gap长度
gap = gap //2
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
shell_sort(alist)
print(alist)
[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
（3）时间复杂度
- 最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同
- 最坏时间复杂度：O(n2)
- 稳定想：不稳定
5.快速排序
快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
1.分析
2.代码
def quick_sort(alist, start, end):
"""快速排序算法"""
# 递归的终止条件
if start >= end:
return
# 定义两个指针分别初始化指向要排序序列的首尾
low = start
high = end
mid = alist[start]
# 当low和high没有重叠的时候，需要不断比较
while low < high:
while low<high and alist[high]>=mid:
high -= 1
alist[low] = alist[high]
while low<high and alist[low]<mid:
low += 1
alist[high]=alist[low]
# 此时low和high指向同一个位置，即为mid所在位置
alist[low] = mid
# 递归调用
quick_sort(alist,start,low-1)
quick_sort(alist,low+1,end)
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
quick_sort(alist,0,len(alist)-1)
print(alist)
[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
3.时间复杂度
分析思路：
（1） 首先，每次分成两部分分别进行排序，是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，因此每一层合起来的复杂度都为o(n)
（2） 然后，一个长为n的序列，每次分为两部分，最终每部分都分为只有1个元素。要计算多少层？
最好情况为log(n),即每次恰好都是对半分，n/(2^x)=1 -> x=logn。最坏情况为n，即每次分为的两部分都为首个元素和其他。
因此，总的时间复杂度为：
- 最优时间复杂度：O(nlogn)
- 最坏时间复杂度：O(n2)
- 稳定性：不稳定
6.归并排序
归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。
将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。
(1)代码
def merge_sort(alist):
# 递归终止条件
n = len(alist)
if n<=1:
return alist
mid = n//2
left = merge_sort(alist[:mid])
right = merge_sort(alist[mid:])
# 定义两个指针，分别初始化指向左右两个列表的首个元素
l, r = 0, 0
# 初始化返回结果
result = []
while l <len(left) and r<len(right):
if left[l] <= right[r]:
result.append(left[l])
l += 1
else:
result.append(right[r])
r += 1
result += left[l:]
result += right[r:]
return result
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
sorted_alist = merge_sort(alist)
print(sorted_alist)
[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
（2）时间复杂度
分析思路：
跟快排类似
（1） 首先，每一层都分组进行合并排序，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，因此每一层合起来的复杂度都为o(n)
（2）然后，每一层都是二分数组，n/(2^x) =1,x=logn，因此一共有logn层
因此，总的时间复杂度为：
- 最优时间复杂度：O(nlogn)
- 最坏时间复杂度：O(nlogn)
- 稳定性：稳定
注意：虽然归并排序的时间复杂度较低，但是算法会返回一个新的列表，需要额外的内存开销，因此所占用的内存会高一些。
7. 常见排序算法效率比较
