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一 写在开头
1.1 本文内容
本文内容为《组合数学》课程的第二部分，递推关系与母函数。这部分的内容分解图如下。
二 递推关系的定义与求解
2.1 递推关系的定义
递推关系的隐式定义为对于数列({a_i vert i ge 0})和任意自然数(n)，一个关系到(a_n)和某些(a_i(i < n))的方程，称为递推关系，记作：
[F(a_0, a_1, a_2, ..., a_n) = 0
]
初始条件
[a_0 = d_0, a_1 = d_1, ..., a_k = d_k
]
其中初始条件的个数被称为递推关系的阶。
递推关系的显式定义为对于数列({a_i vert i ge 0})，把(a_n)和其前若干项联系起来的等式对所有(n ge k)均成立，称该等式为({a_i})的递推关系。记作
[a_n = F(a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_{n-k})
]
2.2 递推关系的建立
递推关系的建立步骤：
- 第一步：找出第(n)项与其前面最近几项的关系
- 第二步：获得最前面几项的具体值，即初值
递推关系的建立实例
实例1：有一个小孩要爬上有(n)个台阶的楼梯，他一步可以爬一个台阶或者两个台阶。这个小孩爬上这(n)个台阶楼梯的不同方法的数目记作(a_n)，则(a_n)的递推关系为：
[a_n = a_{n-1} + a_{n-2}
]
[a_1 = 1, a_2 = 2
]
实例2：在信道上传输由(a, b, c)三个字母组成的长为(n)的字符串，若字符串中有两个(a)连续出现，则信道就不能传输，令(a_n)表示信道可以传输的长为(n)的字符串的个数，求(a_n)满足条件的递推关系，则
[a_n = 2a_{n-1} + 2a_{n-2}
]
[a_1 = 3, a_2 = 8
]
实例3：把(n)个相同的球放入(k)个不同的盒子中，每个盒子中的球不少于2个又不多于4个。其不同的放法的数目记作(a_{n,k})，求(a_{n,k})的递推关系。则
[a_{n, k} = a_{n-2, k-1} + a_{n-3, k-1} + a_{n-4, k-1}
]
[a_{2,1} = a_{3, 1} = a_{4, 1} = 1
]
对于(n = 0)或(n = 1)或(n > 4)，有(a_{n,1} = 0)
2.3 递推关系的求解
对于(r)阶递推关系的一般形式
[a_n + c_1(n)a_{n-1} + c_2(n)a_{n-2} + ... + c_r(n)a_{n-r} = e(n)
]
其中，(n ge r, c_r
e 0)
若(e(n) = 0)，则称其为齐次递推关系式
若(e(n)
e 0)，则称其为非齐次递推关系式
当(c_i(n) = c_i, (i = 1, 2, ..., r))，则称其为常系数递推关系式
对于常系数齐次递推关系式
[a_n + c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + ... + c_ra_{n-r} = 0
]
其中，(c_r)不等于0
其特征方程为：
[m^r + c_1m^{r-1} + c_2m^{r-2} + ... + c_r = 0
]
若解得其全部互不相等的特征根为(m_1, m_2, ..., m_i)，并且其重数分别为(e_1, e_2, ..., e_i(e_1 + e_2 + ... + e_i = r))，则递推关系式对应(m_i)部分的通解是：
[H_i(n) = (B_0 + B_1 cdot n + ... + B_{e_i- 1} cdot n^{e_i-1})m_i^n
]
从而，该常系数齐次递推关系式为：
[a_n = H_1(n) + H_2(n) + ... + H_i(n)
]
对于非齐次常系数递推关系式
[a_n + c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + ... + c_ra_{n-r} = f(n)
]
其解为对应的其次常系数递推关系式的通解(ar{a_n})加上该非齐次常系数递推式的特解(a_n^*)，即：
[a_n = ar{a_n} + a_n^*
]
而非齐次递推关系式
[a_n + c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + ... + c_ra_{n-r} = f(n)
]
特解的常见形式有：
- 当(f(n) = b)时，(a_n^* = An^k)，其中1是k重特征根
- 当(f(n) = b^n)时，(a_n^* = An^kb^n)，其中b是k重特征根
- 当(f(n) = n^s)时，(a_n^* = n^k(A_sn^s + A_{s-1}n^{s-1} + ... + A_1n + A_0))，其中1是k重特征根
- 当(f(n) = b^nn^s)时，(a_n^* = n^kb^n(A_sn^s + A_{s-1}n^{s-1} + ... + A_1n + A_0))，其中b是k重特征根
三 母函数的定义和性质
3.1 母函数的定义
对于数列(a_0, a_1, ..., a_n, ...)构造形式幂级数
[G(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n + ... = sum_{n=0}^{infty}a_nx^n
]
则称函数(G(x))是数列(a_0, a_1, ..., a_n, ...)的母函数
3.2 母函数的性质
设数列({a_n}, {b_n}, {c_n})的母函数分别为
[A(x) = sum_{n=0}^{infty}a_nx^n
]
[B(x) = sum_{n=0}^{infty}b_nx^n
]
[C(x) = sum_{n=0}^{infty}c_nx^n
]
则有
性质1：若
[b_n =
egin{cases}
0 & n < l\
a_{n-l} & n ge l
end{cases}
]
则
(B(x) = x^l A(x))
性质2：若(b_n = a_{n+l})，则
[B(x) = x^{-l}left[ A(x) - sum_{k = 0}^{l-1}a_kx^k
ight]
]
性质3：若(a_n = b_n + c_n)，则
[A(x) = B(x) + C(x)
]
性质4：若(b_n = n cdot a_n)，则(B(x)= x cdot A'(x))
性质5：若
[a_n = b_0c_n + b_1c_{n-1} + ... + b_kc_{n-k} + ... + b_nc_0 = sum_{k=0}^{n}b_kc_{n-k}
]
则
[A(x) = B(x) cdot C(x)
]
3.3 母函数的幂级数展开形式
常用的母函数的幂级数展开式有：
[frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + ...
]
[frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... + x^n
]
[frac{1}{1-ax} = 1 + ax + a^2x^2 + ... + a^nx^n + ...
]
[frac{1}{1-x^r} = 1 + x^r + x^2r + ... + x^{nr} + ...
]
[frac{1}{(1-x)^n} = 1 + C(n, 1)x + C(n+1, 2)x^2 + ... + C(n+k-1, k)x^n + ...
]
[frac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + ... + (n+1)x^n + ...
]
[frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + ... +(-1)^n x^n + ...
]
[frac{1}{(1+x)^n} = 1 - C(n, 1)x + C(n+1, 2)x^2 + ... +(-1)^k C(n+k-1, k)x^k + ...
]
[e^x = 1 + frac{x}{1!} + frac{x^2}{2!} + ... + frac{x^n}{n!} + ...
]
[e^{-x} = 1 - frac{x}{1!} + frac{x^2}{2!} + ... + (-1)^nfrac{x^n}{n!} + ...
]
四 用母函数求解递推关系
用母函数来求解递推关系的步骤如下：
- 将递推关系式变成母函数方程
- 求解母函数
- 将母函数变成幂级数形式
比如，有递推关系(a_n - 2a_{n-1} = 1, a_0 = 0)，求(a_n)。解题过程如下：
[egin{equation}
egin{split}
a_n - 2a_{n-1} = 1\
Rightarrow a_nx^n - 2xa_{n-1}x^{n-1} = x^n\
Rightarrow sum_{n=1}^{infty}a_nx^n - 2x sum_{n=1}^{infty}a_{n-1}x^{n-1} = sum_{n=1}^{infty}x^n\
Rightarrow (A(x) - a_0) - 2xA(x) = frac{1}{1-x} - 1\
Rightarrow A(x) = frac{x}{(1-x)(1-2x)}\
Rightarrow A(x) = frac{-1}{1-x} + frac{1}{1-2x}\
end{split}
end{equation}
]
所以，易知解为(a_n = 2^n - 1)
五 用母函数求解计数问题
5.1 母函数求解组合数
({M_1 cdot a_1, M_2 cdot a_2, ..., M_k cdot a_k})的(r)可重组合的母函数为
[G(x) = (x^0 + x^1 + ... +x^{M_1})(x^0 + x^1 + ... +x^{M_2})...(x^0 + x^1 + ... +x^{M_k})
]
则(x^r)前的系数就是所求(r)可重组合数
当(M_i = 1)时，({a_1, a_2, ..., a_k})的(r)无重组合数的母函数为
[G(x) = (x^0 + x^1)^k = (1+x)^k = sum_{r=0}^{k}C(k, r)x^r
]
同样，(x^r)前的系数就是所求(r)无重组合数
当(M_i = infty)时，({infty cdot a_1, infty cdot a_2, ..., infty cdot a_k})的(r)可重组合数的母函数为
[G(x) = (x^0 + x^1 + ... + x^n + ...)^k = frac{1}{(1-x)^k} = sum_{r=0}^{infty}C(k+r-1, r)x^r
]
同样，(x^r)前的系数就是所求
用母函数求解组合数应用举例。
把4个相同的球放入5个不同的盒子里，要求第一、二、三每盒最多不超过1个，第四、五每盒最多不超过2个，求方法数的母函数
[G(x) = (1+x)^3 cdot (1 + x + x^2)^2
]
展开式中(x^4)的系数为所求
5.2 母函数求解排列数
对于序列(a_0, a_1, ..., a_n, ...)，函数
[G_e(x) = a_0 + a_1 frac{x}{1!} + ... + a_n frac{x^n}{n!} + ...
]
称为序列(a_0, a_1, ..., a_n, ...)的指数型母函数。
与上述的使用母函数求解组合数类似，用母函数求解排列数有如下定理：
令(S={M_1 cdot a_1, M_2 cdot a_2, ......, M_k cdot a_k})，(h_n)是(S)的(n-)排列数，则序列(h_0, h_1, ......, h_n, ......)的指数型母函数(G_e(x))为
[ig(1 + frac{x}{1!} + ... + frac{x^{M_1}}{M_1!}ig)ig(1 + frac{x}{1!} + ... + frac{x^{M_2}}{M_2!}ig)...ig(1 + frac{x}{1!} + ... + frac{x^{M_k}}{M_k!}ig)
]
因此，当(n=M_1 + M_2 + ... +M_k)时，则(x^n)的系数为全排列数
[ binom{n}{M_1M_2...M_k}frac{x^n}{n!}
]
六 整数拆分问题
将(n)个物体全部分配到(m)个位置上的问题，根据物体和位置是否有区别可分为：
- 整数的有序拆分（物体相同，位置不同）
- 整数的无序拆分（物体相同，位置相同）
- 集合的有序拆分（物体不同，位置不同）
- 集合的无序拆分（物体不同，位置相同）
6.1 整数的有序拆分
对于整数的有序拆分，若不允许有空位出现，则拆分数(C_m(n))为
[C_m(n) = binom{n-1}{m-1}
]
若允许出现空位，则拆分数(B_m(n))为
[B_m(n) = binom{n+m-1}{n} = binom{n+m-1}{m-1}
]
6.2 整数的无序拆分
对于整数的无序拆分，若允许有空位，则分配数为下列母函数展开式中(x^n)的系数
[G(x) = frac{1}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)}
]
若不允许有空位，则分配数为下列母函数展开式中(x^n)的系数
[G(x) = frac{x^m}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)}
]
6.3 集合的有序拆分
对于集合的有序划分，若允许有空位，则分配方案数为(m^n)。
若不允许有空位，则分配方案数为
[sum_{k=0}^n(-1)^k binom{n}{k}(n-k)^m
]
6.4 集合的无序拆分
对于集合的无序划分，若允许有空位存在，则分配方案数为
[sum_{i=1}^{min(n,m)}frac{1}{i!}sum_{k=0}^i(-1)^k binom{i}{k}(i-k)^n
]
若不允许空位的存在，则分配方案数为
[frac{1}{m!}sum_{k=0}^m(-1)^k binom{m}{k}(m-k)^n
]