N皇后问题:
给定8*8棋盘, 放置n个皇后, 使其互相不能攻击(即2个皇后不能放在同一行/列/正反对角线上), 求解共有多少种放置方式?
这个问题的解答网上有不少, 但是位操作解法的我看到的不多. 下面贴出代码和图解, 也就不赘述了.
1 class Solution {
2 public:
3 /* 使用位操作实现的回溯算法. 按行扫描, 检测可以放置的列.
4 * 'limit' - 都是 '1'. 代表着所有列都被占据了
5 * 'h' - 是目前所有皇后列在行上的垂直投影. 如果 h==limit, 本次搜索结束, answer++.
6 * 'r' - 是目前所有皇后反对角线在行上的垂直投影.
7 * 'l' - 是目前所有皇后正对角线在行上的垂直投影.
8 * h|r|l - 是目前所有已被占据的位. 故 pos = limit & (~(h|r|l)) 就是所有的自由位置.
9 * p = pos & (-pos) 求出最右侧的1. pos -= p 意思是在p代表的这1位上放置一个皇后.
10 * 'h+p' - 是新增的皇后在行上的列的垂直投影.
11 * '(r+p)<<1' 是新增的皇后反对角线的垂直投影. 因为我们移动到下一行, 投影从右至左倾斜,
12 * 我们需要在移动到下一行后向左平移一个位置.
13 * '(l+p)>>1' 是新增的皇后正对角线的垂直投影. 因为我们移动到下一行, 投影从左至右倾斜,
14 * 我们需要在移动到下一行后向右平移一个位置.
15 */
16 int ans, limit;
17 int totalNQueens(int n) {
18 ans = 0;
19 limit = (1<<n) - 1;
20 dfs(0, 0, 0);
21 return ans;
22 }
23 void dfs(int h, int r, int l) {
24 if (h == limit) {
25 ans++;
26 return;
27 }
28 int pos = limit & (~(h|r|l)); // 用位与去除高位0, 获取本行所有可以放置的位置
29 while (pos) {
30 // 因为pos 8位以上的部分都是0, 所以下面的分析只针对低8位
31 int p = pos & (-pos); // 取负数的结果是pos取反+1, 再&pos结果就是取pos的最低的一位1
32 pos -= p; // 去除这一位
33 dfs(h+p, (r+p)<<1, (l+p)>>1); // 列方向限制直接加上新增的p
34 // 对于下一行而言, 对角线限制就是p左右两侧各1个格子
35 }
36 }
37 };