母函数（生成函数）

介绍

母函数是组合数学中相当重要的一个知识点，可以用来解决一些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。如果系数不是常数，需要根据具体情况进行处理。

具体的内容可以看组合数学相关书籍或者大佬的博客，大佬的另一篇博客

由于大佬总是想当然地把别人当成大佬，一些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这里讲一下母函数的基础。（研究母函数时，钦定(|x|<1)）,这样，由等比数列求和公式有：

(frac{1}{1-x}=sum_{i=0}^infty x^i=1+x+...+x^{infty})

(frac{1}{1-kx}=sum_{i=0}^infty k^ix^i=1+kx+...+k^{infty}x^{infty})

1.普通型母函数。

假设有一个数列(a),那么它的母函数其实就是一个关于(x)的多项式，(x^n)的系数为(a_n)，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。

而对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。

递推型就是利用错位相消，举个栗子：

(a_n=3a_{n-1}+10a_{n-2}),(a_0=1,a_1=2)

移项，得(a_n-3a_{n-1}-10a_{n-2}=0)，设(a_n)的母函数为(G(x))

(quadquad G(x)=a_0+a_1x+quadquad a_2x^2+quadquad a_3x^3...)
(-3xG(x)=quad -3a_0x+(-3)a_1x^2+(-3)a_2x^3...)
(-10x^2G(x)=quadquadquadquad -10a_0x^2+(-10)a_1x^3)

三行相加，可以发现等式右侧除了第一行的第1,2项和第二行的第1项外全消掉了。

所以我们可以得到((1-3x-10x^2)G(x)=a_0+a_1x-3a_0x=1-x)，即(G(x)=frac{1-x}{1-3x-10x^2})，生成函数就求出来了，那如果我们还要求(a_n)的通项呢？

对于这种东西，我们可以把他化成(frac{k1}{x-A}+frac{k2}{x-B})这种形式，其中(A)和(B)由分母的因式分解唯一确定，然后(k1,k2)可由待定系数法解得。

然后对于(frac{k}{x-A}),总可以化成(k'*frac{1}{1-Nx})，就是(k'sum_{i=0}^infty N^ix^i)，找出(x^k)的系数就是(a_n)，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。

具体计算就不算了。

PS:一部分非齐次线性递推其实也可以这样解，比如(a_n-3a_{n-1}-10a_{n-2}=f(n))，按照上述方法错项后会剩下一个等比数列和前几项余项。一般的，只要f(n)有求和公式，都可以用母函数求解。

组合型就是利用组合意义构造多项式，举个栗子：

假设现在有(a_1)个红球，(a_2)个黄球，(a_3)个白球，(a_4)个黑球，从中取(k)个球，这(k)个球的颜色组合有多少种?

那么可以构造函数

[G(x)=(1+x+x^2+...+x^{a_1})(1+x+x^2+...+x^{a_2})(1+x+x^2+...+x^{a_3})(1+x+x^2+...+x^{a_4}) ]

做乘法时，如果我在第一个括号中选了(x^i)这一项，代表我选了(i)个红球，后面的括号也是一样。

最终乘积中(x^k)的系数就是选(k)个球的颜色情况种数。

如果选择有限制呢?比如说，现在不能没有红球，黄球只能是偶数个，白球 (geq) 3个。

那么

[G(x)=(x+x^2+...+x^{a_1})(1+x^2+x^4+...+x^{lfloorfrac{a_2}{2} floor *2})(x^3+...+x^{a_3})(1+x+x^2+...+x^{a_4}) ]

其他

有一个重要结论，如果数列(a_n)的母函数是(G_1(x))，那么(S_n=sum_{i=0}^{n}a_i)的母函数为(G_2(x)=G_1(x)*frac{1}{1-x})。（可以手动验证）

2.指数型母函数

指数型母函数用于解决可重集的k排列问题。

假设现在有(a_1)个红球，(a_2)个黄球，(a_3)个白球，(a_4)个黑球，从中取(k)个球，这(k)个球的颜色排列有多少种?

是不是可以根据上面的结论，先组合，再乘上(k!)呢？不好意思，由于选出的(k)个元素可能有重复，而且每次重复的方式不一样，不能通过先组合再排列的方式解决。

由于可重集的全排列我们是知道的，对于每一类相同的元素（假设有(n_i)个），就除以(n_i!)，所以我们不妨在选一种颜色时就考虑这个因素，构造：

[G(x)=(1+frac{x}{1!}+frac{x^2}{2!}+...+frac{x^{a_1}}{a_1!})(...)(...)(...) ]

这样乘开后(x^k)的系数就是答案。

假设有一个数列(a_n)，令

[G_e(x)=a_0+frac{a_1}{1!}x+frac{a_2}{2!}x^2+frac{a_3}{3!}x^3+... ]

则(G_e(x))称为(a_n)的指数型母函数，用的比较多的是(a_nequiv 1)的形式。

为什么叫指数型母函数呢？由泰勒展开得：(e^x=1+frac{x}{1!}+frac{x^2}{2!}+...)，就是上面我们所构造的形式。

例题：(n)个不同的小球放入(m)个不同的盒子，盒子不能为空，有几种方法?

以盒子为研究对象，此问题相当于将m个不同的元素取n个作可重复排列，每个元素不能不取，则其生成函数为

[G(x)=(x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+...)^n=(e^x-1)=sum_{k=0}^{n} binom{n}{k}(e^x)^{n-k}(-1)^k=sum_{k=0}^{n}[ binom{n}{k}sum_{m=0}^{infty}frac{(n-k)^m}{m!}x^m](-1)^k ]

[=sum_{m=0}^{infty}[sum_{k=0}^{n}(-1)^k binom{n}{k}(n-k)^m]frac{x^m}{m!} ]

所以n个球放到m个盒子中的方案数为(sum_{k=0}^{n}(-1)^k binom{n}{k}(n-k)^m)，

如果盒子相同呢？打乱盒子顺序，除以(m!)就行，方案数为(frac{1}{m!}sum_{k=0}^{n}(-1)^k binom{n}{k}(n-k)^m)。是不是很熟悉？对，这个东西就是第二类斯特林数的通项！

这样，我们没有用容斥原理就求出了第二类斯特林数的通项。

总结

母函数的用途十分广泛，套路也很多，它甚至可以求卡特兰数通项！（但由于我太菜了没怎么看懂，所以咕了）。做题的时候要注意审题，分清是用普通型还是指数型，接下去的构造就比较容易了。