题目
https://www.luogu.com.cn/problem/P2737
思路
裴蜀定理：方程(sum_{i=1}^{n}k_ix_i=b)有整数解当且仅当(gcd(k_1,k_2,...,k_n)|b)
不知道的同学可以做一下这题：【模板】裴蜀定理
证明：
必要性
设 (gcd(k_1,k_2,...,k_n)=g)（后面也用g表示），则 (g|k1,g|k2....)，又(b=sum_{i=1}^{n}k_ix_i)，所以(g|b)。
充分性
先证方程(sum_{i=1}^{n}k_ix_i=g)有解，当(n=2)时根据扩展欧几里得算法显然成立，利用数学归纳法，假设(n=k)时方程有解，那么(n=k+1)时：
(k_1x_1+k_2x_2+....+k_nx_n+k_{n+1}x_{n+1}=gcd(k_{n+1},g))，就要证存在(x_{n+1}) 使 (k_{n+1}x_{n+1}+lambda g=gcd(k_{n+1},g))
解释一下(lambda g)，这是说因为 (k=n) 时方程有解，所以我们将解中的每一个(x)变为原来的 (lambda) 倍，就使得(sum_{i=1}^{n}k_ix_i=lambda g)，其中 (lambda) 是任意整数。
那么，改写一下 (k=n+1)时的方程 ：(ax+by=gcd(a,b))，肯定有解。
所以方程(sum_{i=1}^{n}k_ix_i=g)有解，又因为(g|b)，所以我们将方程(sum_{i=1}^{n}k_ix_i=g) 的解变为原来的(frac{b}{g})倍就可以了。
综上，裴蜀定理得证。
解决问题
分析一下，这道题就是要找一个最大的(b)，使得方程 (sum_{i=1}^{n}k_ix_i=b) 无自然数解。
根据裴蜀定理，如果(g>1)，可以找到一个任意大的(b)（(g mid b)），使该方程没有整数解，自然更没有自然数解了，输出"0"。
如果(g=1)，方程一定存在整数解，且(b)足够大时，一定能通过解的调整使各个(x)都变为自然数，所以满足题意的 (b) 是有上界的。
我们关心的是这个上界是多少。我太弱了不会证，那就开个1e6的数组试试吧，接下来跑DP就完事了。
然后，过了。。。
代码
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[1000000],a[11];
int gcd(int x,int y){
if(x<y) swap(x,y);
if(!y) return x;
return gcd(y,x%y);
}
int main(){
int n,i,j,ans=0,g=0;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
g=gcd(g,a[i]);
}
dp[0]=1;
for(i=1;i<=1000000;i++){
for(j=1;j<=n;j++){
if(i>=a[j])
dp[i]|=dp[i-a[j]];
}
if(!dp[i]) ans=i;
}
if(g==1) printf("%d",ans);
else printf("0");
system("pause");
return 0;
}
补充
如果想进一步看看上界的值怎么算的巨佬请移步rqy小姐姐的博客https://www.luogu.com.cn/blog/rqy/solution-p2737