【王的技法0001】机器数、真值、原码、反码、补码总结

一、概念清单

1. 机器数

2. 真值

3. 原码

4. 反码

5. 补码

二、概念详解

1. 机器数

1. 机器数是一个数在计算机中的二进制表示形式。

2. 机器数带符号，最高位存放，正数为0，负数为1。

   十进制数+3，计算机字长为8位的话，转换二进制为00000011
   十进制数-3，计算机字长为8位的话，转换二进制为10000011
   上述这两个二进制就是机器数。

2. 真值

1. 由于符号位的存在，机器数不等于真值。

2. 带符号的机器数，真正的数值。

   -3是真值，它的机器数是10000011（其形式值为131（十进制））

3. 原码

1. 原码是符号位加上真值的绝对值，即第一位为符号位，其余位表示值。

       十进制数+1原码为 00000001
       十进制数-1原码为 10000001
   

2. 因为第一位是符号位，所以8位二进制的取值范围为：

   [11111111,01111111]

   即

   
       [-127,127]    
       

3. 原码是人脑最容易理解和计算的编码方式。

4. 无符号数用原码。

4. 反码

1. 正数的反码是其本身。

2. 负数的反码是其原码基础上，符号位不变，其余各位取反。

       [+1] = [00000001]【原】 = [00000001]【反】
       [-1] = [10000001]【原】 = [11111110]【反】

3. 反码不容易被人脑直接看出真值，通常需要转换成原码

5. 补码

1. 正数的补码是其本身。

2. 负数的补码是其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。

       [+1] = [00000001]【原】 = [00000001]【反】 = [00000001]【补】
       [-1] = [10000001]【原】 = [11111110]【反】 = [11111111]【补】

3. 补码不容易被人脑直接看出真值，通常需要转换成原码

4. 计算机中，有符号数采用补码

三、有符号数采用补码的意义与方法

1. 意义：为了让符号位参与运算，以简化基础电路设计。

   人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了,于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法.

2. 方法：

   举例来说：限定为8位二进制，计算十进制的表达式：1-1=0

   • 若机器码采用原码来计算，会是这样的结果：

     
         1-1 = 1 + （-1）= [0000 0001]【原】+[1000 0001]【原】= [1000 0010]【原】= -2【十进制】
     //明显错误
     

   • 若机器码采用反码来计算，会是这样的结果：

         1-1 = 1 + （-1）= [0000 0001]【原】+[1000 0001]【原】= [0000 0001]【反】+[1111 1110]【反】= [1111 1111]【反】= [1000 0000]【原】= -0 【十进制】
         //明显错误，0应该是唯一的，不能让[0000 0000]【+0】[1000 0000]【-0】都来表示0.
     

   • 若机器码采用补码来计算，会是这样的结果：

         1-1 = 1 + （-1）= [0000 0001]【原】+[1000 0001]【原】= [0000 0001]【反】+[1111 1110]【反】= [0000 0001]【补】+[1111 1111]【补】= [0000 0000]【补】= [0000 0000]【原】= 0 【十进制】
         //这样保证了0的唯一性。
     
     
     还有一个额外的好处，若用原码、反码，取值范围都只限与[-127,127]，但用补码是[-128,127]能多表示一个数-128。
     
         （-1）+（-127）= [1000 0001]【原】+[1111 1111]【原】= [1111 1110]【反】+ [1000 0000]【反】= [1111 1111]【补】+[1000 0001]【补】= [1000 0000]【补】
         //注意：-128在限定为8位时没有原码和反码，不信？那你将[1000 0000]【补】往原码进行转换，会得出[0000 0000]【原】,这明显错误!
         
     若机器采用补码表示有符号数，对于编程中常用32位的int类型，表数范围可以是[-2<sup>31</sup> , 2<sup>31</sup>-1],而不是原码的表数范围[-2<sup>31</sup>-1 , 2<sup>31</sup>-1]
     

四、如何将二进制补码还原为原码？

1. 方法一：我们可以按原路返回，就是将计算机中存储的二进制补码减1，然后取反，再得到原码，换成相应负数即可，不过这样有点麻烦，因为涉及到了减法操作。

2. 方法二：将负数的补码先取反，然后加1，最高位置换为1即可。

   对于-10，在计算机中存储为

   11111111 11111111 11111111 11110110 【补码形式】

   先取反，得

   00000000 00000000 00000000 00001001

   再加1，得

   00000000 00000000 00000000 00001010

   最高位变1，即

   10000000 00000000 00000000 00001010 【原码形式】

   结果是“-10”

五、奇技淫巧

1. 取反的快捷算法

~x等同于-（x+1）

10进制数2016,转32位2进制数为：

0000 0111 1110 0000

~按位取反：

1111 1000 0001 1111 【对应十进制数:-2017】

结果为：

(~2016) = -2017

六、参考资料

1. 原码, 反码, 补码 详解 【这个大神太NB，把数学知识扯进来了，我有些看不明白，暂未将内容加入本文，后续看明白了补充进来】

2. 按位取反运算符~ - 世朔 - 博客园