最大子序列

转自 http://blog.csdn.net/luxiaoxun/article/details/7438315

问题： 
给定一整数序列A1， A2，... An （可能有负数），求A1~An的一个子序列Ai~Aj，使得Ai到Aj的和最大 
例如：整数序列-2, 11, -4, 13, -5, 2, -5, -3, 12, -9的最大子序列的和为21。对于这个问题，最简单也是最容易想到的那就是穷举所有子序列的方法。利用三重循环，依次求出所有子序列的和然后取最大的那个。当然算法复杂度会达到O(n^3)。

int maxSubSum1(int a[],int size )
{
    int maxSum = 0;
    for ( int i = 0; i < size; i++ )
        for ( int j = 1; j < size; j++ )
        {
             int thisSum = 0;
             for ( int k = i; k <= j; k++ )
                 thisSum += a[k];
             if ( thisSum > maxSum )
                maxSum = thisSum;
        }
    return maxSum;
}

这个算法很简单，i表示子序列起始下标，j表示子序列结束下标，遍历子序列的开头和结束下标，计算子序列的和，然后判断最大子序列。很明显的看出算法复杂度是O( pow( n, 3 ) )

显然这种方法不是最优的，下面给出一个算法复杂度为O(n)的线性算法实现，算法的来源于Programming Pearls一书。在给出线性算法之前，先来看一个对穷举算法进行优化的算法，它的算法复杂度为O(n^2)。其实这个算法只是对对穷举算法稍微做了一些修改：其实子序列的和我们并不需要每次都重新计算一遍。假设Sum(i, j)是A[i] ... A[j]的和，那么Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]。利用这一个递推，我们就可以得到下面这个算法： 

int max_sub(int a[],int size)
{
　　int i,j,v;
    int max=a[0];
　　for(i=0;i<size;i++)
　　{
　　　　v=0;
　　　　for(j=i;j<size;j++)
　　　　{
　　　　　　v=v+a[j];         //Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]
　　　　　　if(v>max)  max=v;
　　　　}
　　}
　　return max;
}

那怎样才能达到线性复杂度呢？这里运用动态规划的思想。先看一下源代码实现：

int max_sub2(int a[], int size)
{
　　int i,max=0,temp_sum=0;
　　for(i=0;i<size;i++)
　　{
　　　　　　temp_sum+=a[i];
　　　　　　if(temp_sum>max)
　　　　　　　　max=temp_sum;
　　　　　　else if(temp_sum<0)
　　　　　　　　temp_sum=0;
　　}
　　return max;
}

在这一遍扫描数组当中，从左到右记录当前子序列的和temp_sum，若这个和不断增加，那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。如果往前扫描中遇到负数，那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max，当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时，说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了，这时将temp_sum置为0。然后，temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前max大的子段，继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。 

全部代码：

#include <stdio.h>

int fun1(int a[], int n_size)
{
    int max;
    int temp;
    int i, j, k;
    temp = 0;
    max = 0;
    
    for (i=0; i<n_size; i++)
    {
        for (j=i+1; j<n_size; j++)
        {
            temp = 0;
            for(k=i; k<=j; k++)
            {
                temp += a[k];
                if(temp >= max)
                    max = temp;
            }
        }
    }
    
    return max;
}

int fun2(int a[], int n_size)
{
    int i, j;
    int v, max;
    v = a[0];
    max = a[0];
    
    for (i=0; i<n_size; i++)
    {
        for (j=i+1; j<n_size; j++)
        {
            v += a[j];
            if (v > max)
                max = v;
        }
        v = 0;
    }
    return max;
}

int fun3(int a[], int n_size)
{
    int i;
    int max, temp;
    temp = 0;
    max = 0;
    
    for (i=0; i<n_size; i++)
    {
        temp += a[i];
        if (temp > max)
            max = temp;
        if(temp < 0)
            temp = 0;
    }
    return max;
}
int main()
{
    int a[5]={6,-1,5,4,-7};
    printf("fun1():%d
", fun1(a, 5));
    printf("fun2():%d
", fun2(a, 5));
    printf("fun3():%d
", fun3(a, 5));
    return 0;
}

运行结果：