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  • 第55届IMO 第2题

    设n≥2为一个正整数,考虑由n2个单位正方格构成的n*n的正方形棋盘,一种放置n个棋子“车”的方案被称为和平的,如果每一行每一列上正好有一个“车”.求最大的正整数k,使得对于任何一种和平放置n个棋子“车"的方案,都存在一个k×k的棋盘使得它的单位正方格中都没有“车”。

    经分析易知,若某一种放置方案是和平的,那么交换棋盘的任意两行/列得到的新方案也是和平的。

    当n为奇数时:

    假设k>=(n+1)/2, 那么对于任何一种和平放置n个棋子“车"的方案,都肯定存在一个(n+1)/2*(n+1)/2的棋盘使得它的单位正方格中都没有“车”,若要想每一行每一列上最多有一个“车”,那么车的数量最多是n-1个,也就是说放不了n个车,所以假设不成立,所以k<=(n-1)/2,当车放在棋盘主对角线上时,总棋盘左下角和右上角都有一个(n-1)/2*(n-1)/2的棋盘中没有车,所以k=(n-1)/2.

    当n为偶数时:

    假设k>=n/2+1,同理也可推出矛盾,得到k=n/2。

    综上,当n为奇数时,k=(n-1)/2;当n为偶数时,k=n/2.

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lau1997/p/13616819.html
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