题解 P2678 【跳石头】

这道题很显然是用二分法，大部分人也是这么做的，但是有个问题大家都没注意到，就是二分的初始范围。

二分范围的上限

由于移走了M块岩石，所以还剩下N-M块岩石，将河道分割成了N-M+1个部分，设最短跳跃距离为D，则

D×（N-M+1）<=L

即 D <= L / (N-M+1)

所以最短跳跃距离的最大值= L / (N-M+1)

二分范围的下限

令D1为初始距离的第M+1小值，即初始时一共有M个距离小于D1，由于两个相邻的岩石产生一个距离，对于每个小于D1的距离，任选其两侧的岩石之一取走，这样每取走一个岩石，小于D1的距离就会少一个，取走M个岩石后，岩石之间的最小距离必然 >=D1，可能这句话不好理解，我以一个具体的例子解释一下。

0（7）1（1）2（3）3（4）4（5）5（6）6（2）7（8）8

0、8代表了两端点，1、2、···7代表了7块岩石，括号里的数字代表了岩石之间的距离。假设M=2，则初始距离的第M+1小值为3（2、3岩石之间的距离），比3距离小的距离为1（1、2岩石间）和2（6、7岩石间）。若取走的2个石头是1、2岩石中的一个，6、7岩石中的一个，则距离1和2都不存在了，每取走一个石头，小于D1的距离就少一个，所以最短跳跃距离的最小值必然 >=D1。 即二分初始范围的下限为距离中第M+1小值。

之后的做法就是二分法了，附上AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<math.h>
using namespace std;
void quickSort(int* a, int l, int r)
{
    if (l < r)
    {   int i, j, x;
        i = l;
        j = r;
        x = a[i];
        while (i < j)
        {
            while (i < j && a[j] > x)
                j--;
            if (i < j)
                a[i++] = a[j];
            while (i < j && a[i] < x)
                i++;
            if (i < j)
                a[j--] = a[i];
        }
        a[i] = x;
        quickSort(a, l, i - 1);
        quickSort(a, i + 1, r);
    }
}
int main()
{
    int l, m, n, i, a[50000], c[50001], d, e, mid, f = 0, g = 0;
    cin >> l >> n >> m;
    d = l / (n - m + 1);
    for (i = 0;i <= n - 1;i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    a[n] = l;
    c[0] = a[0];
    c[n] = l - a[n - 1];
    for (i = 1;i <= n - 1;i++)
    {
        c[i] = a[i] - a[i - 1];
    }

    quickSort(c, 0, n);
    e = c[m];
    while (e + 1 < d)
    {
        g = 0;
        f = 0;
        mid = (e + d) / 2;
        i = 0;
        while (1)
        {
            while (i <= n && a[i] - g < mid)
            {
                f++;
                i++;
            }
            if (i >= n) break;
            if (i < n)
            {
                g = a[i];
                i++;
            }

        }
        if (f <= m)
        {
            e = mid;
        }
        else d = mid;
    }
    cout << e;
    return 0;
}