2021年冰岛MO第5题

平面上有2021个点,其中一些点是黑点,其余点都是绿点。已知对每个黑点而言都恰有两个绿点到这个黑点的距离为2021，请问平面上最少有多少个绿点?

答：先考虑n个绿点，最多能找到多少黑点可以满足要求。

对于n个绿点，以绿点为圆心，2021为半径作圆，令这n个圆两两相交且每两个圆之间有两个交点且没有三个圆有共同的交点，则一共有2C²N个交点，对于每个交点都恰有两个绿点到这个点的距离为2021，所以这些交点就是满足要求的黑点，即n个绿点，可以找到2C²N黑点满足要求。

下面证明考虑n个绿点，最多能找到2C²N个黑点满足要求。假设n个绿点，能找到2C²N+1个黑点满足要求。对于每个黑点，都恰有两个绿点到这个黑点的距离为2021，所以每个黑点都在绿点为圆心，2021为半径作圆的交点上，所以至少有2C²N+1个交点，而n个圆相交，最多只有2C²N个交点，矛盾。

所以满足   n+2C²N>=2021的最小的n就是平面上最少的绿点个数。