62. 不同路径

1. 题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

 

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

2. 分析

依据题意可知，每次 Robot 只可以向下移动或者向右移动，因此当 m 或者 n 为 1 时，Robot 只有唯一的路。首先，我们可以定义一个二维数组memo，memo[ m ][ n ]的值代表有多少条路径可达 memo[ m ][ n ]，即 memo[ m ][ n ] = memo[m - 1][ n] + memo[ m ][ n - 1 ]，因为根据推断出的状态方程，memo的第一行和第一列值都为1，所以起点需要从memo[ 1 ][ 1 ]开始，自底向上进行遍历，最终求出终点（m，n）的路径数量，返回memo[ m - 1 ][ n - 1 ]即可。

3. 实现

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        if( m == 1 || n == 1)
            return 1;
        
        memo = vector<vector<int>>(m, vector<int>(n, 1));
        for(int i = 1; i < memo.size(); i++)
        {
            for(int j = 1; j < memo[0].size(); j++)
            {
                memo[i][j] = memo[i-1][j] + memo[i][j-1];
            }
        }
        
        return memo[m-1][n-1];
    }

private:
    vector<vector<int>> memo;
};