POJ 1737 经典DP

问题：求含有n个点的连通图的个数。

解：

　　考虑DP，$f(n)$表示n个点，每个点都和点1相连，且n个点互相连通的图的个数。

　　（蓝字非常重要，这个条件有效地避免了重复计算）

　　　　　　 $g(n)$表示n个点，每个点都和点1相连，且不是n个点互相连通的图的个数。

　　　　　　 $S(n)$表示n个点的图的个数。

显然，有：$f(n) = S(n)-g(n)$

　　　　　$S(n) = 2^{n(n-1)/2}$

而且有（关键）：$g(n) = sum_{i=1}^{n-1}{C_{n-1}^{i-1} * f(i) * S(n-i)}$

　　从除了1之外的n-1个点中选出i-1个点，让这i个点互相连通，而剩下的n-i个点和这i个点没有边相连，互相之间随意连接。

当然，博主并不想写高精度

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define LL long long
#define N 61

using namespace std;

LL f[N],g[N];
LL C[N][N];
const int n=50;

LL S(int x){
    if(x==0) return 0;
    return (1LL<<( (x*(x-1)) /2));
}

int main(){
    f[1]=1; g[1]=0;
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        g[i]=0;
        for(int j=1;j<i;j++)
            g[i] = g[i] + (C[i-1][j-1]*f[j]*S(i-j));
        f[i]=S(i)-g[i];
    }
    int x;
    while(cin>>x,x) cout<<f[x]<<endl;
    return 0;
}

接下来是多校联盟中有关于本题的拓展：

问题：求左侧n个点，右侧m个点的联通二分图个数

解：参照上面的解法。

　　$f(i,j)$表示左面i个点右面j个点，每个点都和左面的点1相连，且n个点互相连通的图的个数。

　　$g(i,j)$表示左面i个点右面j个点，每个点都和左面的点1相连，且n个点不是互相连通的图的个数。

　　$S(i,j)$定义类比上面。

 和上面一样的，有：

$f(n,m)=S(n,m)-g(n,m)$

$S(n,m)=2^{nm}$

$g(n,m)=sum_{r=1}^{n-1}{ sum_{s=1}^{m-1}{ C_{n-1}^{r-1}*C_{m}^{s}*f(r,s)*S(n-r,m-s)    } }$