hdu5829 Rikka with Subset

首先考虑本题的$O(n^2)$做法。

$Part1$
对原序列从大到小排序后，考虑每个数字对最终答案的贡献，有第x个数字对答案的贡献十分难以计算，所以考虑计算数字x是集合第K大的方案数，作为数字x对$ans(K)$的贡献，然后对$ans$求前缀和，这样得到了x是集合第1~K大的对答案的贡献

$Part2$
考虑计算$ans(K)$只考虑子集合之中第K大的数的贡献，显然有
$$ ans(k) = sum_{i=k}^n {C_{i-1}^{k-1}*2^{n-i}*a(i)} $$
( $a(i)$表示排序后的原序列 )
显然是一个卷积的形式。
$$ ans(k)*(k-1)! = sum_{i=k}^n{frac{1}{(i-k)!} * 2^{n-i}*a(i)*(i-1)! } $$
$A0(i) = 2^{n-i}*a(i)*(i-1)!$
$A(i) = A0(n-i)$
$B(i) = frac{1}{i!} $
$C0(i) = ans(k)*(k-1)!*$
$C(i) = C0(n-i)$
有
$$ C(k) = sum_{i=0}^{k}{A(i)*B(k-i)} $$
多项式乘法形式，用NTT或者FFT实现O(nlogn)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define mod0 998244353
#define gn 3
#define N 400010
#define LL long long
 
using namespace std;

inline int mul(int a,int b,int P){
    if(a*(LL)b<(LL)P) return a*b;
    return (int)(a*(LL)b%(LL)P);
}

inline int add(int a,int b,int P){
    if(a+b>=P) return a+b-P;
    return a+b;
}

inline int qpow(int x,int n,int P){
    int ans=1;
    for(;n;n>>=1,x=mul(x,x,P))
        if(n&1) ans=mul(ans,x,P);
    return ans;
}

int wt[N],R[N];

void fnt(int *x,int n,int t,int P){
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<R[i]) swap(x[i],x[R[i]]);
    for(int m=1;m<n;m<<=1){
        int wn=qpow(gn,(P-1)/(m<<1),P);
        if(t==-1) wn=qpow(wn,P-2,P);
        wt[0]=1;
        for(int i=1;i<m;i++) wt[i]=mul(wt[i-1],wn,P);
        for(int k=0;k<n;k+=(m<<1))
            for(int i=0;i<m;i++){
                int &A=x[i+m+k];
                int &B=x[i+k],t=mul(A,wt[i],P);
                A=add(B,P-t,P); B=add(B,t,P);
            }
    }
    if(t==-1){
        int tmp=qpow(n,P-2,P);
        for(int i=0;i<n;i++) x[i]=mul(x[i],tmp,P);
    }
}

int n,m;
int a[N],b[N],c[N],ans[N],fac[N],a0[N];

void mulpoly(int P){
    m=2*n;
    int L=0,n;
    for(n=1;n<=m;n<<=1) L++;
    for(int i=0;i<n;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    fnt(a,n,1,P); fnt(b,n,1,P);
    for(int i=0;i<n;i++) c[i]=mul(a[i],b[i],P);
    fnt(c,n,-1,P);
    for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=b[i]=0;
}

bool cmp(int a,int b){
    return a>b;
}

int inv(int x,int P){
    return qpow(x,P-2,P);
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a0[i]);
        sort(a0+1,a0+n+1,cmp);
        fac[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i,mod0);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            a0[i]=mul(a0[i]%mod0,qpow(2,n-i,mod0),mod0);
            a0[i]=mul(a0[i],fac[i-1],mod0);
        }
        for(int i=0;i<=n;i++){
            a[i]=a0[n-i];
            b[i]=inv(fac[i],mod0);
        }
        mulpoly(mod0);
        for(int i=1;i<=n;i++) ans[i]=mul(c[n-i], inv(fac[i-1],mod0),mod0);
        for(int i=1;i<=n;i++) ans[i] = add(ans[i],ans[i-1],mod0);
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d%c",ans[i],i==n?'
':' ');
    }
    return 0;
}