简易数论函数变换学习

积性函数

当$(n,m) = 1$时有$f(nm) = f(n)f(m)$，则称$f(x)$ 为积性函数。

线性筛法

对于每一个数字$n$，用其最小的质因数筛去，考虑最小质因数 $p$ 与数字 $n$ 的三种情况

1. $n = p$ 。

2. $p|n, p<n$

3. $else$

三种情况分别考虑即可。

以欧拉函数为例：

1. $phi (i) = i-1$

2. $phi (tp) = phi (t) imes p$

3. $phi (tp) = (p-1) imes phi(t) $ 这样可以 $O(n)$ 筛出相应函数

例：求出 1~n! 中与 m! 互质的数字个数。

x 与 m! 互质 <-> x 与 1 ~ m 互质 <-> x 不含有 ≤ m的质数。

这样考虑 $x = m!t + k$

$p | x$ <=> $p | k$，这样有 $ans = m! prod {1 - frac{1}{p_i}}$

应用阶乘法筛出逆元（用 $(P-1)!^{-1}$ 逆推），预处理出后一部分前缀积，复杂度 $O(n + T)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

#define LL long long
#define N 10000010

using namespace std;

int tot, prime[N], inv[N], fac[N], P, prev[N];
bool v[N];

int mul(int a,int b)
{
    return a*(LL)b % (LL)P;
}

int qpow(int x,int n)
{
    int ans = 1;
    for(;n;n>>=1,x = mul(x, x))
        if(n&1) ans = mul(ans, x);
    return ans;
}

void init()
{
    fac[0] = 1;
    int nl = min(N,P);
    for(int i=1;i < nl ;i++) fac[i] = mul(fac[i-1], i);
    int tmp = qpow(fac[nl-1], P-2);
    for(int i=nl-1;i>=1;i--)
    {
        inv[i] = mul(tmp, fac[i-1]);
        tmp  = mul(tmp, i);
    }
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T>>P;
    init();
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!v[i]) prime[++tot] = i;
        for(int j=1;i*prime[j]<N;j++)
        {
            v[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    int j = 1;
    prev[0] = 1;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        prev[i] = prev[i-1];
        if(j<=tot && prime[j]==i)
        {
            prev[i] += P - mul(prev[i] ,inv[i]);
            if(prev[i] >= P) prev[i] -= P;
            j++;
        }
    }
    int n,m;
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d
",mul(fac[n], prev[m]));
    }
    return 0;
}

常见积性数论函数

$mu (i)$ ：狄里克莱卷积里的逆元函数

当i为若干个不同质数相乘得到，则 $mu (i) = (-1) ^ {cnt}$ （$cnt$ 表示i中质因数的个数）

不然 $mu (i) = 0$

1. $mu (i) = -1$

2. $mu (tp) = 0$

3. $mu (tp) = -mu (t)$

$e (i)$ ：判别函数， [i =1]，相当于狄里克莱卷积之中的 '1'

$d (i)$ ：约数个数，建立辅助函数 $a (i)$ 表示最小质因数的指数

$d(i) = prod {t_i + 1}, i = p_1^{t_1} p_2^{t_2} ... p_{cnt}^{t_{cnt}}$

1. $d(i) = 2, a(i) = 1$

2. $d(tp) =  frac{d(t)}{a(t)+1} imes (a(t)+2) , a(tp) = a(t) + 1$

3. $d(tp) = 2 d(t)$

$sigma (i)$ ：约数和

记 $F(p,t) = frac{1 - p ^ {t + 1}}{1 - p}$

$sigma (i) = prod { F(p_i, t_i)  }$

1. $sigma (i) = i+1$

2. $sigma (tp) = frac{sigma (t)}{ F(p, a(t)) } imes F(p, a(t)+1)$

3. $sigma (tp) = sigma (t) (p+1)$

 狄里克莱卷积

首先有两个常用的性质：

$sum _{d|n} {phi (d)} = n, phi imes I = id$

$sum_{d|n} {mu (d)} = e(n), mu imes I = e$

如果 $f, g$ 为积性函数，则有 $f imes g, f cdot g$ 为积性函数。

小Trick：

$sum{f( [frac{n}{i}] )}$ 可以根据 $[frac{n}{i}]$ 的值分成 $O(sqrt n)$ 块，并且有 $[frac{n}{i}]$ 相同的 i 连续。

 例题若干：

1D GCD sum:

$$sum_{i=1}^n {(n,i)}= sum_{i=1}^n { sum_{d|(n,i)}{phi(d)} } = sum_{d|n} { [frac{n}{d}] phi(d)}$$

2D GCD sum:

$$sum_{i=1}^n { sum_{j=1}^m {(i,j)} } = sum_{i=1}^n{ sum_{j=1}^m{ sum_{d|(i,j)} {phi (d)}  }   } = sum_{d=1}^n{ phi (d) [frac{n}{d}] [frac{m}{d}] }$$

2D prime count:

$$sum_{i=1}^n {sum_{j=1}^m {e((i,j))}} = sum_{i=1}^n{ sum_{j=1}^m{ sum_{d|(i,j)} {mu (d)}  }   } = sum_{d=1}^n{ mu (d) [frac{n}{d}] [frac{m}{d}] }$$

1D prime sum:

$$sum_{1 leq i leq n, (n,i) = 1}i = sum_{i=1}^n { i e((n,i))} = frac{n}{2}(mu imes id + mu imes I) = frac{n}{2}(phi + e) = frac{n}{2} (phi(n) + e(n))$$

莫比乌斯反演

由于在狄里克莱卷积中 $mu (x)$ 为 $I(x)$ 的逆函数，这样有，对于 $F = f imes I$, $f = F imes mu$，即为莫比乌斯反演。

 1 D LCM sum:

$$Ans = sum_{i=1}^n { [n,i] } = n sum_{i=1}^n { frac{i}{(n,i)} } = n sum_{d|n}{ sum_{i leq frac{n}{d}}{i cdot e((frac{n}{d},i))} } = n sum_{d|n}{ g(frac{n}{d}) }$$

而$g(n) = frac{n}{2}(phi + e)$

代入得$$Ans = frac{n^2}{2} ( (phi imes I) + 1)$$

 2 D LCM sum:

$$sum_{i=1}^n {sum_{j=1}^m {[i,j]}} = sum_{d=1}^n { d imes S([frac{n}{d}], [frac{m}{d}]) }$$

$$S(n,m) = sum_{i=1}^m{ sum_{j=1}^m { ij cdot e((i,j))} } = sum_{d=1}^n{mu (d) d^2 S([frac{n}{d}])  S([frac{m}{d}]) }$$

$$S(n) = frac{n(n+1)}{2}$$

两个部分都根据$frac{n}{i}$ $O(sqrt n)$分段，时间复杂度 $O(n)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

#define LL long long
#define P 20101009LL
#define N 10000010

using namespace std;

int n,m,tot,prime[N/5],mu[N],Sum[N];
bool v[N];

int mul(int a,int b)
{
    return (a * (LL)b) % P;
}

int F(int n,int m)
{
    int j;
    LL ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i=j+1)
    {
        j = min(n/(n/i), m/(m/i));
        ans += (mu[j]-(LL)mu[i-1]+P)%P * (LL)Sum[n/i]%P * (LL)Sum[m/i]%P;
        if(ans>=P) ans -= P;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    freopen("nt2011_table.in","r",stdin);
    freopen("nt2011_table.out","w",stdout);
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    if(n>m) swap(n,m);
    mu[1] = 1;
    Sum[1] = 1;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        Sum[i]=Sum[i-1]+i;
        if(Sum[i]>=P) Sum[i]-=P;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            mu[i] = P-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++)
        {
            v[i*prime[j]] = 1;
            mu[i*prime[j]] = P-mu[i];
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) mu[i] = mu[i]*(LL)i%P * (LL)i%P;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        mu[i] += mu[i-1];
        if(mu[i]>=P) mu[i] -= P;
    }
    int j;
    LL ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i=j+1)
    {
        j = min(n/(n/i), m/(m/i));
        ans += (Sum[j]-Sum[i-1]+P)%P * F(n/i,m/i)%P;
        if(ans>=P) ans -= P; 
    }
    cout << ans << endl;
}

记 $f(n) = frac{1}{n},$，$f = F imes I$

这样 $g = n cdot F = mu cdot id$，这样有$g$为积性函数。

$$Ans = sum_{i=1}^n {sum_{j=1}^m { ij sum_{d|(i,j)}{F(d)} }} = sum_{d=1}^n{ g(d) d cdot S([frac{n}{d}]) S([frac{m}{d}]) }$$

$g(p) = 1-p$

$g(ip) = g(i)$，$(i,p) = p$，线性筛即可。