$point1$: 不同频率线性组合形成循环波。
$point2$: 周期化。
$point3$: $sin(2 pi kt) = frac{e^{2 pi ki t} - e^{-2 pi kit}}{2i}, cos(2 pi kit) = frac{e^{2 pi kit} + e^{-2 pi kit}}{2}$
本质：用$sine, cosine$两个函数组合表示出周期函数 / 用不同频率的叠加形成相应波。
综上，得到周期为1的最大合成频率为 $n$ 的波的表示形式 $f(t) = sum_{k=-n}^{n}{C_k e^{2 pi kit}}$, $C_k is complex$
其中对于等式左右乘以 $e^{-2 pi mit }$ 并对于 $t$ 从0到1积分得：$hat{f}(k) = C_k = int_{0}^{1}{e^{-2 pi kit}f(t) dt}$
$ hat{f}(k) : the k Fourier coefficient of f$
注意一个十分重要的性质：$int_{0}^{1}{e^{-2 pi ikt}} = 0 when k eq 0$
$trick$ ：在证明一个数学结论之前，先假定它是成立的，然后来看看我们能做到什么 / 得到了什么结果。
$theory:$ 如果$f(x)$ 的任意阶导数出现了不连续的情况，那么 $f$ 函数不可以用有限傅里叶展开表示。而在近似方法中，我们需要高频率来产生尖（哪怕这个尖再平滑）。
一个函数的傅里叶变换也就是
$$F(s) = int_{-infty}^{infty}{e^{-2pi is t}f(t)dt}$$
逆变换为$$f(t) = int_{-infty}^{infty}{e^{2pi is t}F(s)ds}$$
值得一提的是高斯函数 $$pi(x) = e^{-pi x^2}$$ 的傅里叶变换等于其本身，也就是其在频域以及时域上的函数相同。
对偶性：$$f^+(-s) =f^-(s)$$（从数学的角度，无法简单从物理层面解释）即是 $$mathcal{F}({f^-}) = mathcal{F}({f})^- = mathcal{F}^-(f)$$
考虑对于原函数进行变换后，傅里叶变换的变化：
1 .$$mathcal{F}(f(x + t))(s) = e^{2pi ist}mathcal{F}(f(x))$$ 将函数进行右移的结果。
2 .$$mathcal{F}(f(ax))(s) = frac{1}{|a|}mathcal{F}(f(x))(frac{s}{a})$$ 频域与值域的反比关系，【测不准原理】的一种形式。
3 .$$mathcal{F(f(x))}(s) imes mathcal{F(g(x))}(s) = mathcal{F(int_{-infty}^{infty}{f(t)g(s-t)}dt)}(s) $$ 即两个函数的傅里叶变换的乘积等于两个函数卷积的傅里叶变换，这样我们得到了一个快速求解卷积的方法。
上述三个证明可以很简单地通过微积分计算得到。
推广到多项式乘法：
也就是我们考虑用若干个频域去表示一个 $n$ 元多项式
$$A(s) = sum_{t=-infty}^{infty}{e^{frac{-2pi i st}{len}}a(t)} \ = sum_{t=0}^n{e^{frac{-2pi ist}{n} }a(t)}$$
考虑类比积分形式的逆变换 $$hat{A}(T) = sum_{s=0}^n{e^{frac{2pi iTs}{n}}A(s)} \ = sum_{s=0}^n{sum_{k=0}^n{e^{frac{2pi i(T-k)s}{n}}a(k)}} \ = sum_{k=0}^n{a(k) sum_{s=0}^n{e^{frac{2pi i(T-k)s}{n}}}} \ = n imes a(k)$$
从而实现了正逆变换，其中
$$A(s)B(s) = sum_{t_1,t_2}{[0 le t_1 le n][0 le t_2 le n]e^{frac{2pi is(t_1+t_2)}{n}}a(t_1)b(t_2)}$$
从而 $$hat{(A cdot B)}(s) = sum_{t_1,t_2}{[0 le t_1 le n][0 le t_2 le n][t_1+t_2 = s]a(t_1)b(t_2)}$$