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  • 树的直径

    定义

    树的直径——就是树中距离最大的两点的距离。

    无根树直径的求法

    求无根树的直径:

    1.利用dp实现,就是求最长链与次长链,可以用两次DFS求得,这里就不详细讨论。

    2.利用直径的性质:Step 1.首先任取一点作为根,用DFS找出树中与它距离最远的点,记为点k。

               Step 2.以k为根,再次DFS,找出树中与它距离最远的点,其距离即为直径。

    有何理由?详见这里

    模版题

    下面列出两题:

    1.poj1985

    非常裸,就是练练手。直接贴代码了。

    View Code
     1 #include <cstdio>
     2 #include <cstring>
     3 #include <iostream>
     4 struct node{
     5        int link,dt;
     6        node *next;
     7 }ES[90000],*son[40009];
     8 int m,n,t,s,ans,EC=0;
     9 void tr(int fa,int v,int d)
    10 {
    11      if (d>ans) ans=d,s=v;
    12      for (node *tmp=son[v];tmp;tmp=tmp->next)
    13          if (tmp->link!=fa){
    14             int u=tmp->link;
    15             tr(v,u,d+tmp->dt);
    16             }
    17 }
    18 void addedge(int x,int y,int z)
    19 {
    20      ES[++EC].next=son[x];
    21      son[x]=ES+EC;
    22      son[x]->link=y;
    23      son[x]->dt=z;
    24 }
    25 int main()
    26 {
    27     freopen("poj1985.in","r",stdin);freopen("poj1985.out","w",stdout);
    28     while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
    29           ans=0;
    30           memset(son,0,sizeof(son));
    31           EC=0;
    32           for (int i=1;i<=m;++i){
    33               int x,y,l;
    34               scanf("%d%d%d ",&x,&y,&l);
    35               char c;
    36               scanf("%c",&c);
    37               addedge(x,y,l);
    38               addedge(y,x,l);
    39               }
    40           tr(0,1,0);
    41           ans=0;
    42           tr(0,s,0);
    43           printf("%d\n",ans);
    44           }
    45     fclose(stdin);fclose(stdout);
    46 }

    2.hdu2196

    事实上也是水题。但是要先了解树的直径的性质。

    若(s,t)是一条直径,则树中任意一点到s,t的距离的最大值必定是其与树中离他最远的点的距离。

    何以如此?

    证明非常简单。如下:

    记u为树中一点,(s,t)为直径。

    假设能够找到一点v使得dis[u][v]>max(dis[u][s],dis[u][t])(不妨设dis[u][s]>dis[u][t]),则dis[u][v]+dis[u][s]>dis[u][s]+dis[u][t]>=dis[s][t]=直径。

    矛盾,于是结论成立。

    了解了这个性质,这题就很简单了。3遍bfs即可。

    View Code
     1 #include <cstdio>
     2 #include <queue>
     3 #include <algorithm>
     4 #include <memory>
     5 using namespace std;
     6 struct node{
     7        int link,dt;
     8        node *next;
     9 }ES[30009],*son[10009];
    10 int n,dis[10009],temp[10009],EC=0;
    11 bool b[10009];
    12 queue<int> q;
    13 void addedge(int x,int y,int z)
    14 {
    15      ES[++EC].next=son[x];
    16      son[x]=ES+EC;
    17      son[x]->link=y;
    18      son[x]->dt=z;
    19 }
    20 int bfs(int k)
    21 {
    22      int Max=0;
    23      memset(dis,0,sizeof(dis));
    24      memset(b,0,sizeof(b));
    25      q.push(k);
    26      b[k]=1;
    27      for (;!q.empty();q.pop()){
    28          int x=q.front();
    29          for (node *tmp=son[x];tmp;tmp=tmp->next)
    30              if (!b[tmp->link]){
    31                 int u=tmp->link;
    32                 dis[u]=dis[x]+tmp->dt;
    33                 q.push(u);
    34                 b[u]=1;
    35                 if (dis[u]>Max){
    36                    Max=dis[u];
    37                    k=u;
    38                    }
    39                 }
    40          }
    41      return k;
    42 }
    43 int main()
    44 {
    45 #ifndef ONLINE_JUDGE
    46     freopen("Computer.in","r",stdin);freopen("Computer.out","w",stdout);
    47 #endif
    48     while (scanf("%d",&n)!=EOF){
    49           memset(son,0,sizeof(son));
    50           EC=0;
    51           for (int i=1;i<n;++i){
    52               int x,y;
    53               scanf("%d%d",&x,&y);
    54               addedge(x,i+1,y);
    55               addedge(i+1,x,y);
    56               }   
    57           int s=bfs(1); 
    58           s=bfs(s);
    59           for (int i=1;i<=n;++i) temp[i]=dis[i];
    60           bfs(s);
    61           for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",max(temp[i],dis[i]));
    62           }
    63 #ifndef ONLINE_JUDGE
    64     fclose(stdin);fclose(stdout);
    65 #endif
    66 }
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