积化和差与和差化积

一、求证：(sinalphacoseta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)])

证明：因为$$sin(alpha+eta)=sinalphacoseta+cosalphasineta$$$$sin(alpha-eta)=sinalphacoseta-cosalphasineta$$将以上两式的左右两边分别相加，得$$sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)=2sinalphacoseta$$即$$sinalphacoseta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)]$$同理得到$$cosalphasineta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)-sin(alpha-eta)]$$$$cosalphacoseta=dfrac{1}{2}[cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)]$$$$sinalphasineta=-dfrac{1}{2}[cos(alpha+eta)-cos(alpha-eta)]$$由于公式的左边为积的形式，右边为和或差的形式，故把上述四个公式称为 积化和差 公式.

(quad)

二、求证：(sin heta+sinvarphi=2sindfrac{ heta+varphi}{2}cosdfrac{ heta-varphi}{2})

证明：由上一题的证明有$$sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)=2sinalphacoseta$$设 (alpha+eta= heta,alpha-eta=varphi) .那么$$alpha=dfrac{ heta+varphi}{2},eta=dfrac{ heta-varphi}{2}$$把 (alpha,eta) 的值代入上式，即得$$sin heta+sinvarphi=2sindfrac{ heta+varphi}{2}cosdfrac{ heta-varphi}{2}$$同理得$$sin heta-sinvarphi=2cosdfrac{ heta+varphi}{2}sindfrac{ heta-varphi}{2}$$$$cos heta+cosvarphi=2cosdfrac{ heta+varphi}{2}cosdfrac{ heta-varphi}{2}$$$$cos heta-cosvarphi=-2sindfrac{ heta+varphi}{2}sindfrac{ heta-varphi}{2}$$我们把上述四个公式称为和差化积公式.

例题

(1)、已知 (sin(alpha+eta)=dfrac{1}{2},sin(alpha-eta)=dfrac{1}{3}) ，求 (sinalphacoseta) .

解析：(sinalphacoseta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)]=dfrac{5}{12})

(2)、设 (A,B,C) 是 ( riangle ABC) 的三个内角，求证：

[sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sin Asin Bsin C ]

证明：

[egin{array}{rl};&sin 2A+sin 2B+sin 2C \[2ex] =&2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)\[2ex] =&2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]\[2ex] =&2sin(A+B)2sin Asin B\[2ex] =&4sin Asin Bsin Cend{array} ]

练习

已知 (A+B+C=pi) ，求证：

((1);sin A+sin B+sin C=4cosdfrac{A}{2}cosdfrac{B}{2}cosdfrac{C}{2})

((2);cos A+cos B+cos C=1+4sindfrac{A}{2}sindfrac{B}{2}sindfrac{C}{2})