[题目]
如图,正方形 (ABCD) 的边长为 (1) ,(P,Q) 分别为边 (AB,DA) 上的点.当 ( riangle APQ) 的周长为 (2) 时,求 (angle PCQ) 的大小.
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[解析]
设 (angle DCQ=alpha , angle BCP=eta) ,则 (DQ= analpha,PB= aneta) . 因为
[DQ+QA+AP+PB=2
]
[QA+AP+PQ=2
]
所以 (PQ=QD+PB= analpha+ aneta) ,在 ({ m Rt} riangle QAP) 中 (QA^2+AP^2=PQ^2) . 即
[(1- analpha)^2+(1- aneta)^2=( analpha+ aneta)^2
]
化简得
[ analpha+ aneta=1- analpha aneta
]
故 ( an(alpha+eta)=dfrac{ analpha+ aneta}{1- analpha aneta}=1) . 又 (alpha+etain(0,dfrac{pi}{2})) ,所以 (alpha+eta=dfrac{pi}{4}) ,所以 (angle PCQ=dfrac{pi}{4}) .