[题目]
如图，正方形 (ABCD) 的边长为 (1) ，(P,Q) 分别为边 (AB,DA) 上的点.当 ( riangle APQ) 的周长为 (2) 时，求 (angle PCQ) 的大小.
[解析]
设 (angle DCQ=alpha , angle BCP=eta) ，则 (DQ= analpha,PB= aneta) . 因为
[DQ+QA+AP+PB=2
]
[QA+AP+PQ=2
]
所以 (PQ=QD+PB= analpha+ aneta) ，在 ({ m Rt} riangle QAP) 中 (QA^2+AP^2=PQ^2) . 即
[(1- analpha)^2+(1- aneta)^2=( analpha+ aneta)^2
]
化简得
[ analpha+ aneta=1- analpha aneta
]
故 ( an(alpha+eta)=dfrac{ analpha+ aneta}{1- analpha aneta}=1) . 又 (alpha+etain(0,dfrac{pi}{2})) ，所以 (alpha+eta=dfrac{pi}{4}) ，所以 (angle PCQ=dfrac{pi}{4}) .