三等分点

等边三角形 (ABC) 中，点 (D,E) 分别在边 (BC,AC) 上，且 (|BD|=dfrac{1}{3}|BC|,|CE|=dfrac{1}{3}|CA|,AD,BE) 相交于点 (P) . 求证： (APperp CP) .

解法一

如图，以 (BC) 边中点 (O) 为原点建立平面直角坐标系：设三角形边长为 (6) . 则 (A(0,3sqrt{3}),B(-3,0),C(3,0),D(-1,0),)(E(2,sqrt{3})) .

故直线 (AD) 的方程为$$dfrac{y-0}{3sqrt{3}-0}=dfrac{x+1}{0+1}Longrightarrow y=3sqrt{3}(x+1)$$直线 (BE) 的方程为$$dfrac{y-0}{sqrt{3}-0}=dfrac{x+3}{2+3}Longrightarrow y=dfrac{sqrt{3}}{5}(x+3)$$联立直线 (AD) 与 (BE) 的方程解得 (P(-dfrac{6}{7},dfrac{3sqrt{3}}{7})) . 而$$k_{AP}cdot k_{CP}=dfrac{3sqrt{3}-dfrac{3sqrt{3}}{7}}{0+dfrac{6}{7}}cdotdfrac{0-dfrac{3sqrt{3}}{7}}{3+dfrac{6}{7}}=-1$$所以 (APperp CP) .

解法二

设 (overrightarrow{AB}=vec{a},overrightarrow{AC}=vec{b}) ，因为 (A,P,D) 三点共线，设 (overrightarrow{AP}=moverrightarrow{AD}) ， (B,P,E) 三点共线，设 (overrightarrow{BP}=noverrightarrow{BE}) ，则

[overrightarrow{AP}=dfrac{2m}{3}vec{a}+dfrac{m}{3}vec{b}; ,;overrightarrow{BP}=-nvec{a}+dfrac{2n}{3}vec{b} ]

又

[overrightarrow{AP}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{BP}=(1-n)vec{a}+dfrac{2n}{3}vec{b} ]

所以

[egin{cases}dfrac{2m}{3}=1-n \ dfrac{m}{3}=dfrac{2n}{3}end{cases}Longrightarrowegin{cases}m=dfrac{6}{7} \ n=dfrac{3}{7}end{cases} ]

则

[overrightarrow{AP}=dfrac{4}{7}vec{a}+dfrac{2}{7}vec{b};,;overrightarrow{BP}=-dfrac{3}{7}vec{a}+dfrac{2}{7}vec{b} ]

所以

[overrightarrow{CP}=overrightarrow{CB}+overrightarrow{BP}=dfrac{4}{7}vec{a}-dfrac{5}{7}vec{b} ]

设等边三角形的边长为 (1) ，则

[egin{array}{rll}overrightarrow{AP}cdotoverrightarrow{CP}&=(dfrac{4}{7}vec{a}+dfrac{2}{7}vec{b})cdot(dfrac{4}{7}vec{a}-dfrac{5}{7}vec{b})\[1ex]&=dfrac{16}{49}vec{a}^2-dfrac{12}{49}vec{a}cdotvec{b}-dfrac{10}{49}vec{b}^2 \[1ex]&=(dfrac{16}{49}-dfrac{6}{49}-dfrac{10}{49}) \[1ex] &=0end{array} ]

所以 (overrightarrow{AP}perpoverrightarrow{CP}) ，即 (APperp CP) .