题目
已知六棱锥 (P-ABCDEF) ，底面 (ABCDEF) 为正六边形，点 (P) 在底面的射影为其中心，将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点 (P) 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为 (5) 的圆上，则当正六边形 (ABCDEF) 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为 (underline{quadqquad}).
解析
如图，连接 (OP) ，交 (EF) 于 (G) ，设 (OG=x) ，则 (GP=5-x) ，六棱锥的高 (h=sqrt{25-10x},S_{ABCDEF}=2sqrt{3}x^2) . 则
[egin{array}{rl}V&=dfrac{1}{3}cdot 2sqrt{3}x^2cdotsqrt{25-10x} \[2ex] &=dfrac{2sqrt{3}}{3}cdotdfrac{4}{25}cdotsqrt{(25-10x)cdotdfrac{5}{2}xcdotdfrac{5}{2}xcdotdfrac{5}{2}xcdotdfrac{5}{2}x} \[2ex] &leqdfrac{2sqrt{3}}{3}cdotdfrac{4}{25}cdotsqrt{5^5} \[2ex] &=dfrac{8sqrt{15}}{ 3}end{array}
]
当且仅当 (25-10x=dfrac{5}{2}x) ，即 (x=2) 时，等号成立，六棱锥体积取最大值 (dfrac{8sqrt{15}}{3})，此时六边形的边长为 (dfrac{4sqrt{3}}{3}) .