1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci，约1170—1250)出版了他的《算盘全书(Liber Abacci)》。他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题:
如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)。而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子?
在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有两对兔子，再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对小兔子长大，有3对小兔子。如此推算下去，我们可以得到一个表格:
[egin{array}{c|c|c|c}hline 时间(月)&初生兔子(对)&成熟兔子(对)&总兔子数(对) \ hline1&1&0&1 \ hline2&0&1&1 \ hline 3&1&1&2 \ hline 4&1&2&3 \ hline 5&2&3&5 \ hline 6&3&5&8 \ hline 7&5&8&13 \ hline 8&8&13&21 \ hline 9&13&21&34 \ hline 10&21&34&55 \ hlineend{array}
]
由此可知。从第1个月开始，以后每个月的兔子总对数是
[1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,cdots
]
你发现这个数列的规律了吗?
如果用 (F_n) 表示第 (n) 个月的兔子的总对数，可以看出，
[F_n=F_{n-1}+F_{n-2}
]
这是一个由递推关系给出的数列，称为斐波那契数列。
现用特征根法求该数列的通项公式
由递推公式得特征方程为
[x^2-x-1=0
]
解得
[x_1=dfrac{1+sqrt5}{2},x_2=dfrac{1-sqrt5}{2}
]
设
[F_n=Acdotleft(dfrac{1+sqrt5}{2}
ight)^n+Bcdotleft(dfrac{1-sqrt5}{2}
ight)^n
]
将 (F_1=F_2=1) 代入得
[egin{cases}Acdotleft(dfrac{1+sqrt5}{2}
ight)+Bcdotleft(dfrac{1-sqrt5}{2}
ight)=1 \[2ex] Acdotleft(dfrac{1+sqrt5}{2}
ight)^2+Bcdotleft(dfrac{1-sqrt5}{2}
ight)^2=1end{cases}
]
解得
[egin{cases}A=dfrac{1}{sqrt5} \[2ex] B=-dfrac{1}{sqrt5}end{cases}
]
所以
[F_n=dfrac{1}{sqrt5}left[left(dfrac{1+sqrt5}{2}
ight)^n-left(dfrac{1-sqrt5}{2}
ight)^n
ight]
]