单调性讨论

已知函数 (f(x)={ m e}^x,g(x)=ax^2+x+1.)

(1) 设 (F(x)=dfrac{g(x)}{f(x)}) ，讨论函数 (F(x)) 的单调性；

(2) 若 (a=dfrac12) ，证明：(f(x)>g(x)) 在 ((0,+infty)) 上恒成立.

解析：

(1) 由已知得 (F(x)=dfrac{ax^2+x+1}{{ m e}^x}) ，则

[F'(x)=dfrac{(2ax+1){ m e}^x-(ax^2+x+1){ m e}^x}{e^{2x}}=dfrac{-x[ax-(2a-1)]}{{ m e}^x} ]

令 (F'(x)=0) ，得 (x=0) 或 (x=dfrac{2a-1}{a}.)

① 当 (a>dfrac12) 时，(dfrac{2a-1}{a}>0) ，则 (F(x)) 在 ((-infty,0)) 上单调递减，在 ((0,dfrac{2a-1}{a})) 上单调递增，在 ((dfrac{2a-1}{a},+infty)) 上单调递减；

② 当 (a=dfrac12) 时，(F'(x)leqslant0) ，则 (F(x)) 在 ({ m R}) 上单调递减；

③ 当 (0<a<dfrac12) 时， (dfrac{2a-1}{a}<0) ，则 (F(x)) 在 ((-infty,dfrac{2a-1}{a})) 上单调递减，在 ((dfrac{2a-1}{a},0)) 上单调递增，在 ((0,+infty)) 上单调递减；

④ 当 (a<0) 时，(dfrac{2a-1}{a}>0) ，则 (F(x)) 在 ((-infty,0)) 上单调递增，在 ((0,dfrac{2a-1}{a})) 上单调递减，在 ((dfrac{2a-1}{a},+infty)) 上单调递增。

(2) 若 (a=dfrac12) ，则 (g(x)=dfrac12x^2+x+1) ，设 (h(x)=f(x)-g(x)={ m e}^x-dfrac12x^2-x-1) ，则

[h'(x)={ m e}^x-x-1 ]

令 (p(x)=h'(x)) ，则 (p'(x)={ m e}^x-1) ，当 (x>0) 时，(p'(x)>0) ，则 (h'(x)) 在 ((0,+infty)) 上单调递增，则 (h'(x)>h'(0)=0) ，则 (h(x)) 在 ((0,+infty)) 上单调递增，即 (h(x)>h(0)=0) ，所以 (f(x)>g(x)) ，得证。