一艘渔艇停泊在距海岸 (9) km处,今需派人送信给距渔艇 (3sqrt{34}) km处的海岸渔站,如果送信人步行每小时 (5) km,船速每小时 (4) km,问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省?
解析
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1517782/202012/1517782-20201210205816022-1964213774.png)
如图, A 为渔艇,C 为渔站,过 A 向海岸作垂线,垂足为 B . 若在 D 处登岸,设 (BD=x) ,时间为 (t) . 求得
[BC=sqrt{AC^2-AB^2}=15,AD=sqrt{AB^2+BD^2}=sqrt{81+x^2}
]
则
[t(x)=dfrac{sqrt{81+x^2}}{4}+dfrac{15-x}{5},(0<x<15)
]
求得
[t'(x)=dfrac{x}{4sqrt{81+x^2}}-dfrac15
]
令 (t'(x)=0),得 (x=12) . 得 (x,t'(x),t(x)) 的变化情况如下表
[egin{array}{c|c|c|c}hline x&(0,12)&12&(12,15)\ hline t'(x)&-&0&+\hline t(x)&searrow&dfrac{87}{20}&
earrow\hlineend{array}
]
故当 (x=12) 时,(t(x)) 取最小值,用时最少,此时登岸处距渔站 (3) km.