斜率和问题

如图，已知椭圆 (dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)) 经过点 (P(sqrt3,dfrac12)) ，离心率 (e=dfrac{sqrt3}{2}) ，直线 (l) 的方程为 (x=dfrac{4sqrt3}{3}) .

(1) 求椭圆 (C) 的方程；

(2) (AB) 是经过右焦点 (F) 的任意一条弦 (不经过点 (P) ) ，设直线 (AB) 与 (l) 相交于点 (M) ，记直线 (PA,PB,PM) 的斜率依次为 (k_1,k_2,k_3) . 问：是否存在 (lambda) ，使得 (k_1+k_2=lambda k_3) ? 若存在，求出 (lambda) 的值，若不存在，请说明理由.

解析：

(1) 依题意有

[egin{cases}dfrac{3}{a^2}+dfrac{1}{4b^2}=1 \[1ex] dfrac{c}{a}=dfrac{sqrt3}{2}\[1ex]a^2=b^2+c^2end{cases}Longrightarrowegin{cases}a^2=4\b^2=1end{cases} ]

则椭圆的标准方程为 (dfrac{x^2}{4}+y^2=1) .

(2) ①当直线 (AB) 的斜率为 (0) 时，其方程为 (y=0) ，解得 (k_1=1-dfrac{sqrt3}{2},k_2=-1-dfrac{sqrt3}{2},k_3=-dfrac{sqrt3}{2}) ，则

[k_1+k_2=-sqrt3=2k_3Longrightarrowlambda=2 ]

②当直线 (AB) 的斜率不为 (0) 时，设为 (x=my+sqrt3) ，(A(x_1,y_1),B)(x_2,y_2)) 联立

[egin{cases}x=my+sqrt3\x^2+4y^2=4end{cases}Longrightarrow (m^2+4)y^2+2sqrt3my-1=0 ]

得 (y_1+y_2=-dfrac{2sqrt3m}{m^2+4},y_1y_2=-dfrac{1}{m^2+4}) .

[egin{align}k_1+k_2&=dfrac{y_1-dfrac12}{x_1-sqrt3}+dfrac{y_2-dfrac12}{x_2-sqrt3}=dfrac{y_1-dfrac12}{my_1}+dfrac{y_2-dfrac12}{my_2}=dfrac2m-dfrac{1}{2m}cdotdfrac{y_1+y_2}{y_1y_2}\[2ex]&=dfrac2m-dfrac{1}{2m}cdotdfrac{-dfrac{2sqrt3m}{m^2+4}}{-dfrac{1}{m^2+4}}=dfrac{2}{m}-sqrt3end{align} ]

解得 (M(dfrac{4}{sqrt3},dfrac{1}{sqrt3m})) ，则 (k_3=dfrac{dfrac12-dfrac{1}{sqrt3m}}{sqrt3-dfrac{4}{sqrt3}}=dfrac{1}{m}-dfrac{sqrt3}{2}) ，所以 (k_1+k_2=2k_3) ，综上，存在 (lambda=2) 满足题设条件 .