已知数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和为 (S_n) ，(a_1=1) ，(S_{n+1}=S_n+2a_n+1) ，数列 (Big{dfrac{2^n}{a_ncdot a_{n+1}}Big}) 的前 (n) 项和为 (T_n) ，则下列选项正确的是 ((qquad))
A. ({a_n+1}) 为等差数列
B. ({a_n+1}) 为等比数列
C. (a_n=2^n-1)
D. (T_n<1)
解析：
由题意得
[a_{n+1}=2a_n+1;Longrightarrow;a_{n+1}+1=2(a_n+1);Longrightarrow;dfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=2
]
所以 ({a_n+1}) 是以 (2) 为公比，(2) 为首项的等比数列。所以
[a_n+1=2^n;Longrightarrow;a_n=2^n-1
]
故选项 B、C 正确，选项 A 错误。
[dfrac{2^n}{(2^n-1)cdot(2^{n+1}-1)}=dfrac{1}{2^n-1}-dfrac{1}{2^{n+1}-1}
]
所以
[egin{align}T_n&=dfrac{1}{2-1}-dfrac{1}{2^2-1}+dfrac{1}{2^2-1}-dfrac{1}{2^3-1}+cdots+dfrac{1}{2^n-1}-dfrac{1}{2^{n+1}-1}\[2ex]&=1-dfrac{1}{2^{n+1}-1}<1end{align}
]
所以选项 D 正确。
答案：BCD