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  • 二维均值不等式的几何证明

    对于任意正实数 (a,b) ,有

    [sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}geqslantdfrac{a+b}{2}geqslantsqrt{ab}geqslantdfrac{2}{dfrac1a+dfrac1b} ]

    当且仅当 (a=b) 时,等号成立.

    1、(sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}geqslantdfrac{a+b}{2})

    如图,点 (D) 在半圆 (O) 上,点 (C) 在直径 (AB) 上,且 (ODperp AB) ,设 (AC=a,BC=b) .

    证明:因为 (AC=a,BC=b),则

    [OD=dfrac{a+b}{2};;,;;OC=dfrac{a-b}{2};;,;;CD=sqrt{OF^2+OC^2}=sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}} ]

    (CDgeqslant OD)

    [sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}geqslantdfrac{a+b}{2} ]

    当且仅当 (a=b) 时,等号成立,得证。

    2、(dfrac{a+b}{2}geqslantsqrt{ab})

    如图,点 (E) 在半圆 (O) 上,点 (C) 在直径 (AB) 上,且 (ECperp AB) ,设 (AC=a,BC=b) .

    证明:因为 (AC=a,BC=b),且 ( riangle ACEacksim riangle ECB)

    [OE=dfrac{a+b}{2};;,;;CE=sqrt{ACcdot BC}=sqrt{ab} ]

    (OEgeqslant CE)

    [dfrac{a+b}{2}geqslantsqrt{ab} ]

    当且仅当 (a=b) 时,等号成立,得证。

    3、(sqrt{ab}geqslantdfrac{2}{dfrac1a+dfrac1b})

    如图,点 (E) 在半圆 (O) 上,点 (C) 在直径 (AB) 上,且 (ECperp AB)(CFperp OE)(AC=a,BC=b) .

    证明:由 ( riangle OCEacksim riangle CFE)(dfrac{CE}{OE}=dfrac{EF}{CE}) ,则

    [EF=dfrac{CE^2}{OE}=dfrac{ab}{dfrac{a+b}{2}}=dfrac{2ab}{a+b}=dfrac{2}{dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}} ]

    (CEgeqslant EF)

    [sqrt{ab}geqslantdfrac{2}{dfrac1a+dfrac1b} ]

    当且仅当 (a=b) 时,等号成立,得证。

    4、把它们画在同一个图有

    (CDgeqslant OD=OEgeqslant CEgeqslant EF)

    [sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}geqslantdfrac{a+b}{2}geqslantsqrt{ab}geqslantdfrac{2}{dfrac1a+dfrac1b} ]

    当且仅当 (a=b) 时,等号成立.

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