如图，在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，(M,N) 分别是棱 (AB,BB_1) 的中点，点 (P) 在对角线 (CA_1) 上运动. 当 ( riangle PMN) 的面积最小时，点 (P) 的位置是 ((qquad))
A. 线段 (CA_1) 的三等分点，且靠近 (A_1)
B. 线段 (CA_1) 的中点
C. 线段 (CA_1) 的三等分点，且靠近点 (C)
D. 线段 (CA_1) 的四等分点，且靠近点 (C)
解析：
要使 ( riangle PMN) 的面积最小，则需点 (P) 到直线 (MN) 的距离最小，即求异面直线 (MN) 与 (A_1C) 的最小距离。如图
连接 (A_1B) 交 (MN) 于点 (Q) ，过点 (Q) 作 (QP'perp A_1C) ，交 (A_1C) 于点 (P') ，因为 (MNperp A_1B) ，(MNperp BC) ，所以 (MNperp) 平面 (A_1BC) ，所以 (MNperp QP') ，又 (QP'perp A_1C) ，所以 (|QP'|) 为异面直线 (MN,A_1C) 之间的最小距离。设正方体棱长为 (1) ，求得
[A_1B=sqrt{2},A_1Q=dfrac{3}{4}sqrt{2},A_1C=sqrt{3}
]
易知 ( riangle A_1QP'sim riangle A_1CB) ，设 (|A_1P'|=x) ，则
[dfrac{|A_1P'|}{|A_1B|}=dfrac{|A_1Q|}{|A_1C|}Longrightarrow dfrac{x}{sqrt{2}}=dfrac{dfrac{3}{4}sqrt2}{sqrt3}
]
解得 (x=dfrac{sqrt3}{2}) ，所以当点 (P) 在点 (P') 处（即 (A_1C) 中点）时，( riangle PMN) 的面积最小.
答案：B