弦(chord)：连接环中不相邻的两个点的边。
弦图(chordalgraph)：一个无向图称为弦图当且仅当图中任意长度大于3的环都至少有一个弦。
单纯点(simplicialvertex)：设N(v)表示与点v相邻的点集。一个点称为单纯点当{v} + N(v)的诱导子图为一个团。
完美消除序列(perfect elimination ordering)：这是一个序列{v[i]}，它满足v[i]在{v[i..n]}的诱导子图中为单纯点。
弦图的判定：存在完美消除序列的图为弦图。可以用MCS最大势算法求出完美消除序列。
最大势算法 Maximum Cardinality Search
从n到1的顺序依次给点标号(标号为i的点出现在完美消除序列的第i个)。
设label[i]表示第i个点与多少个已标号的点相邻，每次选择label[i]最大的未标号的点进行标号。
用n个vector来保存label为i的是哪些点，可以使复杂度达到O(n+m)。
弦图上的问题：
用最少的颜色给每个点染色使得相邻的点染的颜色不同：完美消除序列从后往前依次给每个点染上可以染的最小的颜色。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<vector> 4 #include<algorithm> 5 #define MAX(a,b) a>b?a:b 6 #define MIN(a,b) a<b?a:b 7 #define mem(a) memset(a,0,sizeof(a)) 8 #define rep(i,n) for (i=1;i<=(n);i++) 9 #define INF 1000000000 10 #define N 11000 11 #define M 2100000 12 using namespace std; 13 int ans,b[N],c[N],lab[N],j,vis[N],a[N],ee,m,nex[M],head[N],e[M],u,v,i,n,best; 14 vector<int> vec[N]; 15 void add(int u,int v) 16 { 17 e[++ee]=v;nex[ee]=head[u];head[u]=ee; 18 } 19 int main() 20 { 21 scanf("%d%d",&n,&m); 22 rep(i,m) 23 { 24 scanf("%d%d",&u,&v); 25 add(u,v); 26 add(v,u); 27 } 28 best=0; 29 for (i=1;i<=n;i++) 30 vec[0].push_back(i); 31 for (i=n;i>=1;i--) 32 { 33 while (1) 34 { 35 u=vec[best].back(); 36 if (vis[u]) 37 vec[best].pop_back(); 38 else 39 break; 40 while (vec[best].size()==0) 41 best--; 42 } 43 a[i]=u; 44 vis[u]=1; 45 for (j=head[u];j>0;j=nex[j]) 46 { 47 lab[e[j]]++; 48 best=MAX(lab[e[j]],best); 49 vec[lab[e[j]]].push_back(e[j]); 50 } 51 } 52 //for (i=1;i<=n;i++)printf("lbz %d ",a[i]); 53 54 for (i=n;i>=1;i--) 55 { 56 for (j=head[a[i]];j>0;j=nex[j]) 57 { 58 b[c[e[j]]]=i; 59 } 60 rep(j,n) 61 if (b[j]!=i) 62 { 63 c[a[i]]=j; 64 ans=MAX(ans,c[a[i]]); 65 break; 66 } 67 } 68 printf("%d ",ans); 69 return 0; 70 71 }
最大独立集：完美消除序列从前往后能选就选。
判断一个序列是否为完美消除序列：设{vi+1,…,vn}中所有与vi相邻的点依次为vj1,…, vjk。只需判断vj1是否与vj2,…, vjk相邻即可。
区间图(Interval Graph)：给定一些区间，定义一个相交图为每个顶点表示一个区间，两个点有边当且仅当两个区间的交集非空。
区间图一定是弦图。
给定n个区间，所对应的区间图为G
G的一个完美消除序列：将所有的区间按照右端点从小到大排序。