二分图算法(判定和最大匹配)

二分图定义：

顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。同一个子集中没有两个点直接相连。
图中没有含奇数条边的环。任何无回路的的图均是二分图。

二分图的判定：

如图一个二分图FIG.1都可以分成两个互不相交的子集如图FIG.2的形式
假如给的图是连通图就从1开始染色。如果是非连通图只要把每个连通块遍历一遍就可以了。

1. 如果节点没有染过色，就染上与它相反的颜色，推入队列。
2. 如果节点染过色且相反，忽视掉。
3. 如果节点染过色且与父节点相同，证明不是二分图，return。

二分图判定：

BFS判定：

bool bfs(int x)
{
 queue<int>qu;
  color[x]=1;
  qu.push(x);
  while(!qu.empty( ))
  {
      int k=qu.front( );
      qu.pop( );
      for(int i=0;i<vep[k].size( );i++)
      {
          int v=vep[k][i];
          if(color[v]==0)
          {
              color[v]=-color[k];
              qu.push(v);
          }
          else if(color[v]==color[k])
          {
              return false;
          }
      }
  }
  return true;
}

DFS判定：

flag=1;
void bfs(int x,int k)
{
  color[x]=k;
  for(int i=0;i<vep[x].size( );i++)
  {
     int v=vep[x][i];
      if(color[v]==-0)
      {
          bfs(v,-k);
      }
      else if(color[x]==color[v])
      {
          flag=0;
          return ;
      }
  }
}

二分图最大匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。(一条边的两个端点都不是另外一条边的端点）
个人觉得很好理解：
注：以下转自 https://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基>于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就:
寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒>人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感
-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思，你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法>的工作模式会教你这样做：

==============================================>=

1. 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

==============================================>=

2. 接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

==============================================>=

3. 接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~                  1号男生可以找2号妹子了~~~                3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

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4. 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。
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   ==================

匈牙利算法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int edge[505][505];
int vis[505];
int L[505];
int k,m,n,x,y;
int Hungarian(int x)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(!vis[i]&&edge[x][i])
	//如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题，但是没有成功，所以就不用瞎费工夫了）
        {
            vis[i]=1;
            if(L[i]==-1||Hungarian(L[i]))//名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归
            {
                L[i]=x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main( )
{
    memset(edge,0,sizeof(edge));
    cin>>k>>n>>m;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        cin>>x>>y;
        edge[x][y]=1;
    }
    memset(L,-1,sizeof(L));
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));//需要每次更新；
        if(Hungarian(i))
        {
            ans++;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}