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  • 二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法

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    这篇文章讲无权二分图(unweighted bipartite graph)的最大匹配(maximum matching)和完美匹配(perfect matching),以及用于求解匹配的匈牙利算法(Hungarian Algorithm);不讲带权二分图的最佳匹配。

    二分图:简单来说,如果图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨越组的边界,则这就是一个二分图。准确地说:把一个图的顶点划分为两个不相交集 $U$ 和$V$ ,使得每一条边都分别连接$U$、$V$中的顶点。如果存在这样的划分,则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是:不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰,我们以后都把它画成图 2 的形式。

    匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。例如,图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

    Bipartite Graph(1)  Bipartite Graph(2)  Matching  Maximum Matching

    我们定义匹配点匹配边未匹配点非匹配边,它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-5、4-7为匹配边,其他边为非匹配边。

    最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配,它包含 4 条匹配边。

    完美匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完美匹配。

    举例来说:如下图所示,如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边,就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对,使得每对儿都互相喜欢呢?图论中,这就是完美匹配问题。如果换一个说法:最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿?这就是最大匹配问题。

    0

    基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法,下面讲的概念都为这个算法服务。

    5

    交替路:从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

    增广路:从一个未匹配点出发,走交替路,如果途径另一个未匹配点(出发的点不算),则这条交替路称为增广路(agumenting path)。例如,图 5 中的一条增广路如图 6 所示(图中的匹配点均用红色标出):

    6

    增广路有一个重要特点:非匹配边比匹配边多一条。因此,研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边,所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后,图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

    我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时,达到最大匹配(这是增广路定理)。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前,先讲一下匈牙利树。

    匈牙利树一般由 BFS 构造(类似于 BFS 树)。从一个未匹配点出发运行 BFS(唯一的限制是,必须走交替路),直到不能再扩展为止。例如,由图 7,可以得到如图 8 的一棵 BFS 树:

    7   8    9

    这棵树存在一个叶子节点为非匹配点(7 号),但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点,因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点,那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示(顺便说一句,图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路,沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配)。

    下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码:

    // 顶点、边的编号均从 0 开始
    // 邻接表储存
    
    struct Edge
    {
        int from;
        int to;
        int weight;
    
        Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
    };
    
    vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
    vector<Edge> edges;
    typedef vector<int>::iterator iterator_t;
    int num_nodes;
    int num_left;
    int num_right;
    int num_edges;
    int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
    int check[__maxNodes];
    
    bool dfs(int u)
    {
        for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点
            int v = edges[*i].to;
            if (!check[v]) {     // 要求不在交替路中
                check[v] = true; // 放入交替路
                if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
                    // 如果是未盖点,说明交替路为增广路,则交换路径,并返回成功
                    matching[v] = u;
                    matching[u] = v;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false; // 不存在增广路,返回失败
    }
    
    int hungarian()
    {
        int ans = 0;
        memset(matching, -1, sizeof(matching));
        for (int u=0; u < num_left; ++u) {
            if (matching[u] == -1) {
                memset(check, 0, sizeof(check));
                if (dfs(u))
                    ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
    queue<int> Q;
    int prev[__maxNodes];
    int Hungarian()
    {
        int ans = 0;
        memset(matching, -1, sizeof(matching));
        memset(check, -1, sizeof(check));
        for (int i=0; i<num_left; ++i) {
            if (matching[i] == -1) {
                while (!Q.empty()) Q.pop();
                Q.push(i);
                prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点
                bool flag = false; // 尚未找到增广路
                while (!Q.empty() && !flag) {
                    int u = Q.front();
                    for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
                        int v = edges[*ix].to;
                        if (check[v] != i) {
                            check[v] = i;
                            Q.push(matching[v]);
                            if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点
                                prev[matching[v]] = u;
                            } else { // 找到未匹配点,交替路变为增广路
                                flag = true;
                                int d=u, e=v;
                                while (d != -1) {
                                    int t = matching[d];
                                    matching[d] = e;
                                    matching[e] = d;
                                    d = prev[d];
                                    e = t;
                                }
                            }
                        }
                    }
                    Q.pop();
                }
                if (matching[i] != -1) ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }

    匈牙利算法的要点如下

    1. 从左边第 1 个顶点开始,挑选未匹配点进行搜索,寻找增广路。

      1. 如果经过一个未匹配点,说明寻找成功。更新路径信息,匹配边数 +1,停止搜索。
      2. 如果一直没有找到增广路,则不再从这个点开始搜索。事实上,此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去,而不影响结果。
    2. 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配,所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈,而 BFS 版本使用 prev 数组。

    性能比较

    两个版本的时间复杂度均为$Oig(V cdot Eig)$。DFS 的优点是思路清晰、代码量少,但是性能不如 BFS。我测试了两种算法的性能。对于稀疏图,BFS 版本明显快于 DFS 版本;而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%,9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。

    补充定义和定理:

    最大匹配数:最大匹配的匹配边的数目

    最小点覆盖数:选取最少的点,使任意一条边至少有一个端点被选择

    最大独立数:选取最多的点,使任意所选两点均不相连

    最小路径覆盖数:对于一个 DAG(有向无环图),选取最少条路径,使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0(即单个点)。

    定理1:最大匹配数 = 最小点覆盖数(这是 Konig 定理)

    定理2:最大匹配数 = 最大独立数

    定理3:最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lcchy/p/10139595.html
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