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  • 数论卷积公式and莫比乌斯反演

    数论卷积:

    对于两个数论函数f(x),g(x)

    f(n)g(n)= f(d)g(n/d)

                 d|n

    莫比乌斯函数:

    设一个数n=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*..........*(pn^kn)

                 /  1,n=1

    则μ(n)=    0,max(k1,...kn)=1

                    -1^r  ,max(k1......kn)=r,r>1

    莫比乌斯函数有个性质:

     ∑ μ(d)在n为1时为1,其余时为0

    d|n

    例题:给定a,b,c,d,在a≤x≤c,b≤y≤d中,求满足gcd(x,y)=1的(x,y)

    这样,我们就可以把要求的x,y视为一个二维前缀和,即:

    [1≤x≤c,1≤y≤d]-[1≤x≤a,1≤y≤d]-[1≤x≤c,1≤y≤b]+[1≤x≤a,1≤y≤b](就是上图红色部分的面积=总面积-a*d的矩形-c*b的矩形+a*b的矩形)

    那么每一部分就可以表示为求起点为1,x的终点为n,y的终点为m的式子

    如下:

      n  m

    ∑ ∑ [gcd(i,j)]=1

    i=1 j=1

    这里中括号的意思是:若括号内为真,返回1,若为假,返回0

    ∑计算有一下几种性质:

    1.交换两个∑,结果不变

    2.将某个∑后面与当前∑枚举的东西无关的式子提到该∑前面来,结果不变

    显然枚举原式可以枚举到地老天荒(显然我们要化简)

    联系一下前面莫比乌斯函数的性质:

     ∑ μ(d)在n为1时为1,其余时为0

    d|n

    不难发现,原式可以写成这样:

    显然这里确定i,j枚举d不好枚举,那我们换过来,确定d枚举i,j

      n    

    ∑      ∑       ∑   μ(d)

    d=1       ad=i,        bd=j,

                 i<=n          j<=m

    这时候,μ(d)与前两个∑没有关系,那就把它提到前面来

     n    

    ∑   μ(d)   ∑       ∑   

    d=1                 ad=i,      bd=j,

                           i<=n        j<=m

    后面两个∑可视为枚举1到n和1到m中d的倍数。1到n中d的倍数有  个,1到m中d的倍数有 个

    一个式子解决了。

    剩下的就是将二维前缀和中的式子往里带了

     嗯虽然不知道自己写了些什么,但先记下来以后慢慢看

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