qbzt周末刷题班5题解

T1

读入一个(n),对于一个三元组((i,j,k))满足要求当且仅当(1≤i,j,k≤n)且(i×j≥k)。求符合条件的三元组的数量。
对于30%的数据(n≤100)
对于60%的数据(n≤5000)
对于100%的数据(n≤100000)

暴力：(O(n^3))暴力枚举

60pts:
( ecause i imes jgeqslant k\ herefore igeqslant lceilfrac{k}{j} ceil )
对于每个((j,k)),都有(iin [lceilfrac{k}{j} ceil,n])符合条件
所以我们可以枚举(j,k),复杂度(O(n^2))

100pts((O(n)做法)):
在60pts枚举时，注意到如果(kleqslant j),则当前的((j,k))的贡献为(n)。
所以将((j,k))产生的贡献分为两部分：
1.(kleqslant j:) 一个(k)的贡献为(n)。且对于每个(j),都有(j)个符合条件的(k),所以总贡献为(j imes n)
2.(k>j:) 某个(k)产生的贡献为(n-lceilfrac{k}{j} ceil+1)。
且当(lceilfrac{k}{j} ceil=2)时，(kin [j+1,2j];)(lceilfrac{k}{j} ceil=3)时，(kin [2j+1,3j]........)
最后一段：当(lceilfrac{k}{j} ceil=x+1)时，(kin[xj+1,n])((x=lfloorfrac{n}{j} floor))
发现非最后一段的区间长为(j)，那么非最后一段的所有贡献可以加和，即(j imes sum_{l=2}^x{n-l+1}),发现是一个等差数列
最后一段的贡献：(((n-x) imes (n-xj))
整理一下：
(ans=sum_{i=1}^n i imes (n+frac{(2n-x)(x-1)}{2})+(n-xi)(n-x),x=lfloorfrac{n}{i} floor)
可以(O(n))求出答案
PS:十年OI一场空，不开longlong见祖宗
(Code)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<set>
#define pa pair<int,int>
#define pi pair<ull,ll>
using namespace std;
const int inf=2147483640;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
inline ll read(){
	char ch=getchar();
	ll x=0;bool f=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return f?-x:x;
}
int n;
ull ans;
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=(ull)n*i;
		ull x=n/i; 
		ans+=(ull)i*((ull)(2*n-x)*(ull)(x-1)/2);
		ans+=(ull)(n-x*i)*(ull)(n-x);
	}
	printf("%llu
",ans);
}

T2

一些废话：连暴力都不会了.orz

先从暴力看起。我们可以枚举每一个关键点作为出发点。(f[i][j][o])表示从点(i)到点(j)是否有长度(mod p=o)的路径。这样有40pts。

优化一下：如果走某条边奇数次，和走这条边一次所到达的点是一样的。走这条边偶数次，和不走所到达的边是一样的。而题目保证(p)是奇数。所以我们可以考虑走某条边(p)或(2p)次来调节这条边的贡献。

上面的暴力需要枚举所有关键点作为出发点，这很不优秀，我们想把它优化掉。那么我们能不能减少枚举的点的个数？

我们考虑某一点(o)和合法路径的关系。如果图中存在一条从(x)到(y)的合法路径，且路径上的某一点(z)可以到达(o)。那么我们可以通过走(2p)边((o,z))来抵消这条边在模意义下的贡献。这样就可以使这条合法路径经过点(o)。而整个图是无向图，所有点都是联通的，所以点(o)可以是任意一点。这样就可以优化掉枚举起点。

优化两下：我们发现不只是边((o,z))可以被调节，图上所有的边都可以被调节。那最后的路径长度只和每条边被经过的次数有关，和经过的点没什么关系。
设某条边的边长为(A),那么((k_1 imes A) mod p)可以表示所有的((k_2 imes gcd(A,p)) mod p)

证明(以下简称(gcd(A,p))为(gcd)):

[x 设A=mp+a,a=ycdot gcd\ herefore left{egin{aligned}Aequiv ycdot gcd (mod p)\ frac{A}{gcd}equiv mfrac{p}{gcd}+y (mod p)\ end{aligned} ight.\​ 现在我们要用k_1cdot ycdot gcd (mod p)来表示k_2cdot (mfrac{p}{gcd}+y) (mod p)\ k_2cdot (mfrac{p}{gcd}+y)equiv k_2cdot mcdot pcdot gcd^{-1}+k_2cdot y (mod p)\ 即k_2cdot (mfrac{p}{gcd}+y)equiv k_2cdot y (mod p)\ 所以我们现在要用k_1cdot ycdot gcd (mod p)来表示k_2cdot y (mod p)\即用k_1cdot gcd (mod p)来表示k_2 (mod p)\ 若k_1cdot gcdequiv k_2 (mod p)\则k_1equiv k_2cdot gcd^{-1} (mod p)\对于任意的k_2,k_1都有解，证毕 ]

所以若存在一条路径长(A)使得(gcd(A,p) | gcd(L,p)),则存在一个(k_1cdot Aequiv k_2cdot L (mod p))，即路径合法。(k_1,k_2)的问题可以通过多次走(A)来解决。
所以我们只需要求出所有边权的(gcd),看是否能整除(gcd(L,p))即可

T3

暴力：枚举(b),看起来有30pts，其实它有50pts

正解：
我们知道(a^b equiv a^{b mod p} mod p,a^a equiv a^a mod p),所以不妨让(b)与(a)同余,设(b=kp+a)。
根据扩展欧拉定理,当(p)与(a)互质时，(a^b equiv a^{b mod phi(p)} mod p)（扩展欧拉定理见这里((stO)一扶苏一(Orz)））,设(b=k_2codt phi(p)+a)。
可得(b=pcdot phi(p)+a)
当(p)与(a)不互质时：因为(ageqslant 64),所以等价于互质的情况

T4

题目背景过酸已隐藏

暴力：(O(n^3))暴力枚举

优化：
合法的情况：

对于一个(i)来说，最优的(j)为(i+d_i),且(k)要满足(kleqslant 2j-i)。因为当(j)为(i,k)中点时，(k=2j-i),但(j)更靠近(k)。

对于每个(i),可以确定一个最优的(j),进而确定最远可能覆盖到的(k=2j-i)。发现对于这时的(i,j)，符合条件的(k)的范围为([i+2,2j-i])。（就算(j>k)也木有关系（虽然题目要求(j)在(i,k)中间）（我也不造为啥））
这样我们把(i)对(f_k)产生的贡献放到以(j)为下标的数组里，维护后缀和。
std:

#include<bits/stdc++.h>
#define N 3200000
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
using namespace std;
int n,d[N],f[N];
int ans;
vector<int>a[N];
int t[N]; 
namespace bit{
	int t[N];
	int insert(int x,int a){
		x=n-x+1;
		for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))t[i]+=a;
		return 0;
	}
	int query(int x){
		x=n-x+1;
		int ans=0;
		for(int i=x;i;i-=lowbit(i))ans+=t[i];
		return ans;
	}
}
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
};
int main(){
	freopen("beacon.in","r",stdin);
	freopen("beacon.out","w",stdout);
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=read();
	for(int k=3;k<=n;k++){
		int i=k-2;
		int j=i+d[i];
		int l=2*j-i+1;
		l=min(l,n+1);
		a[l].push_back(j);
		bit::insert(min(j,n),1);
		for(int o=0;o<a[k].size();o++){
			bit::insert(min(a[k][o],n),-1);
		}
		f[k]=bit::query(max(k-d[k],1));
	}
//	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",f[i]);
//	printf("
");
//	return 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans^=f[i];
	printf("%d
",ans);
}