洛谷P1226 【模板】快速幂||取余运算

题目描述

输入b，p，k的值，求b^p mod k的值。其中b，p，k*k为长整型数。

输入输出格式

输入格式：

 三个整数b,p,k.

输出格式：

 输出“b^p mod k=s”

s为运算结果

S1:用快速幂快速的求出a^b

原理 

(1)如果将 a 自乘一次，就会变成 a^2 。再把 a^2 自乘一次就会变成 a^4 。然后是 a^8…… 自乘 n 次的结果是 a^(2^n) 。

(2)a^x*a^y = a^(x+y)。

(3)将 b 转化为二进制观看一下：

举个栗子：     a^11=a^(8+2+1)=a^8*a^2*a      11=8+2+1,转化为二进制就是1011，每个位上的一就代表1,2,4,8....的有或无

那么怎么判断有或无呢？    用“按位与”运算 &（按位与功能是参与运算的两数各对应的二进位相与。只要对应的两个二进位都为1时，结果位就为1，比如1001&101就是0001），让a&1，判断最后一位是否是1，如果是就乘

然后还要用到“>>”这个符号，它的作用是让整个二进制数右移一位，相当于除以二，比如1011右移就是0101，这样就可以循环的判断是否要*a^多少次方

总的来说，如果 b 在二进制上的某一位是 1，我们就把答案乘上对应的 a^(2^n)

来看代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a,b,ans=1;
cin>>a>>b;
int i=a;
while(b)//当b不等于0时，用来判断b是否已经分解完
{
if(b&1)//判断二进制最后一位是否为1
{
ans=ans*i;//如果为1就 *a^(2^n)
}
i=i*i;//i自乘
b>>=1;//b右移一位，回到上面继续判断最后一位
}
cout<<ans;
return 0;//华丽的return
}

S2 神奇的取余运算

虽然我们已经用快速幂快速的算出了a^b，但是取余的话如果这个数太大的话评测就会炸，所以不能用常规的思路

快速幂经常要结合取余运算。这里也讲一点。

取余运算有一些好用的性质，包括：

(A+B)  mod b = (A  mod b + B  mod b)  mod b　　(A+B)mod b=(Amodb+Bmodb) modb

(A×B)  mod b = ((A  mod b) × (B  mod b))  mod b　　(A×B)mod b=((Amodb)×(Bmodb)) modb（证明略）

于是，我们可以在每一个while循环中都给ans取余，这样可以保证最后的答案是正确的

S3 有机的结合

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std; 
long long b,p,k,s=1;
long long powmod(long long a,long long b1,long long c)
{
    long long i=a;
    while(b1)
    {
        if(b1&1) 
        {
            s=(s*i)%c;
        }
        i=(i*i)%c;
        b1>>=1;
    }
    return s%c;
}
int main()
{
    cin>>b>>p>>k;
    cout<<b<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"="<<powmod(b,p,k);
    return 0;
}

结合S1S2的解释很容易理解

于是这道题就结束了