题目链接:于神之怒加强版
这个式子还是很妙的,只是我已经思维僵化了
egin{aligned}
&sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j)^k \
=&sum_{g=1}^ng^ksum_{i=1}^{lfloor frac{n}{g}
floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{g}
floor}sum_{d|i,d|j}mu(d) \
=&sum_{g=1}^ng^ksum_{d=1}^{lfloor frac{n}{g}
floor}mu(d)lfloor frac{n}{dg}
floorlfloor frac{m}{dg}
floor \
=&sum_{g=1}^ng^ksum_{g|x}^{n}mu(frac{x}{g}) lfloor frac{n}{x}
floorlfloor frac{m}{x}
floor \
=&sum_{x=1}^n lfloor frac{n}{x}
floorlfloor frac{m}{x}
floor sum_{g|x} g^k mu(frac{x}{g})
end{aligned}
然后我们可以令(f(x)=sum_{g|x} g^k mu(frac{x}{g})),显然(f(x))是(id^k)与(mu)的狄利克雷卷积,所以(f(x))也是一个积性函数
由于(n)的范围有(5 imes 10^6),所以我们来考虑一下如何筛这个(f)函数,也就是考虑在(i)是(p)的倍数的情况下计算(f(ip))((p)为质数)
令(i=p^kq(qperp p)),然后分情况讨论一下:
当(q e 1)时,由于(i)的最小质因子为(p),那么(p^{k+1}<i),所以(f(frac{i}{p^k}) imes f(p^{k+1}))就是所求;
当(q=1)时,由于(f(p^x)=p^{kx}-p^{kx-k}),所以(f(i) imes p^k)即为所求,(p^k)则可以通过预处理所有质数的(k)次方解决。
最后再分块计算就好了。
下面贴代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout) #define maxn 5000010 #define mod 1000000007 using namespace std; typedef long long llg; int T,k,n,m,pr[maxn],lp; int g[maxn],c[maxn]; bool vis[maxn]; llg f[maxn]; void gi(llg &x){if(x>=mod) x%=mod;} llg mi(llg a,int b){ llg s=1; while(b){ if(b&1) s=s*a,gi(s); a=a*a,gi(a); b>>=1; } return s; } int main(){ File("a"); scanf("%d %d",&T,&k); f[1]=c[1]=1; for(int i=2;i<maxn;i++){ if(!vis[i]) pr[++lp]=i,g[i]=i,c[i]=mi(i,k),f[i]=c[i]-1; for(int j=1;i*pr[j]<maxn;j++){ if(i*pr[j]==31823){ int aa; aa++; } vis[i*pr[j]]=1; if(i%pr[j]) g[i*pr[j]]=pr[j],f[i*pr[j]]=f[i]*f[pr[j]]%mod; else{ f[i*pr[j]]=g[i]!=i?f[i/g[i]]*f[g[i]*pr[j]]:f[i]*c[pr[j]]; gi(f[i*pr[j]]); g[i*pr[j]]=g[i]*pr[j]; break; } } } for(int i=2;i<maxn;i++) f[i]+=f[i-1],gi(f[i]); while(T--){ scanf("%d %d",&n,&m); if(n>m) n^=m^=n^=m; llg ans=0; for(int i=1,nt;i<=n;i=nt+1){ nt=min(n/(n/i),m/(m/i)); ans+=(f[nt]-f[i-1]+mod)*(n/i)%mod*(m/i)%mod; if(ans>=mod) ans%=mod; } printf("%lld ",ans); } return 0; }