Tarjan 割点学习笔记

在一个无向图中，如果删掉点 $v$ 后图的连通块数量增加，则称点 $v$ 为图的割点。

Tarjan 算法可以在线性时间求无向图的所有割点。

定义

$mathrm{dfn}(u)$ 表示进入节点 $u$ 时的时间（时间截）。

$mathrm{low}(u)$ 表示由节点 $u$ 开始搜索所能到达的点中，在搜索树上是 $u$ 的祖先且 $mathrm{dfn}$ 最小的节点的 $mathrm{dfn}$。

描述

类似于 Tarjan 求强连通分量，大致流程：

1. 选定一个节点作为根节点，开始 DFS；

2. 初始化当前点的 $mathrm{dfn}$ 和 $mathrm{low}$ 均为当前时间截；

3. 遍历当前点 $v$ 的所有邻接点（与 $v$ 相连的点）；

4. 如果某个邻接点 $u$ 在 DFS 树中，更新 $mathrm{low}(v) = min(mathrm{low}(v), mathrm{dfn}(u))$；

5. 如果某个邻接点 $u$ 不在 DFS 树中，则对 $u$ 进行 DFS，完成后更新 $mathrm{low}(v) = min(mathrm{low}(v), mathrm{low}(u))$；

6. 对于根节点，如果它在 DFS 树上有两个或更多的子节点，则它为割点；

7. 对于一个 DFS 树上的非根节点 $u$，如果存在子节点 $v$，满足 $mathrm{low}(v) geq mathrm{dfn}(u)$，则 $u$ 为割点。

解释

如果某个邻接点 $u$ 在 DFS 树中，更新 $mathrm{low}(v) = min(mathrm{low}(v), mathrm{dfn}(u))$；

$mathrm{low}$ 被定义为节点经过最多一条后向边（与 DFS 方向相反，从某个节点指向其某个祖先的边）能到达最远的祖先。如果 $mathrm{dfn}(u)$ 改为 $mathrm{low}(u)$，因为 $u$ 已经在 DFS 树中，那么 $mathrm{low}(v)$ 为经过两条后向边到达节点的 $mathrm{dfn}$，与定义不符。

对于根节点，如果它在 DFS 树上有两个或更多的子节点，则它为割点；

显然，根是两棵子树上节点的唯一连通方式，删掉后破坏原图的连通性。

对于一个 DFS 树上的非根节点 $u$，如果存在子节点 $v$，满足 $mathrm{low}(v) geq mathrm{dfn}(u)$，则 $u$ 为割点。

根据定义，$v$ 向上无法到达 $u$ 的父节点。如果 $mathrm{low}(v) = mathrm{dfn}(u)$ 即以 $v$ 为根的子树最远到达 $u$，删掉后子树下的点无法到达更远的祖先，故判读时可以取等。

模板

Luogu 3388

#include <cstdio>

const int SIZE = 100005;

int cut[SIZE], cutTot, root;
int low[SIZE], dfn[SIZE], time;
int h[SIZE], to[SIZE << 1], nxt[SIZE << 1], tot;

int min(int x, int y) {
	return x < y ? x : y;
}

void add(int x, int y) {
	to[++tot] = y;
	nxt[tot] = h[x];
	h[x] = tot;
}

void tarjan(int x) {
	low[x] = dfn[x] = ++time;
	int cnt = 0;
	for (int i = h[x]; i; i = nxt[i]) {
		int y = to[i];
		if (!dfn[y]) {
			cnt++;
			tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);
			if (x == root && cnt >= 2) {
                // 判断是否被计数过，下同
				if (!cut[x]) cut[x] = ++cutTot;
			} else if (x != root && dfn[x] <= low[y]) {
				if (!cut[x]) cut[x] = ++cutTot;
			}
		}
		else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
	}
}

int main() {
	int n, m;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y;
		scanf("%d %d", &x, &y);
		add(x, y);
		add(y, x);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) if (!dfn[i]) root = i, tarjan(i);

	printf("%d
", cutTot);
	for (int i = 1; i <= n; i++) if (cut[i]) printf("%d ",i);
	return 0;
}

参考资料

• Tarjan 割点学习笔记 | Menci's Blog